Atlas of figures
資料集
全章の図を1か所に集めました。72 点のうち 5 点は、章で実際に動かせるシミュレーションです。 眺めて気になった図から、その図が出てくる章へ飛べます。
32000 × 0.006 を「仮数」と「桁」の2本の計算に分けたところ。上の段は 3.2 × 6 ≈ 19 という易しい掛け算、下の段は指数の足し算だけになる。
概数と暗算の技術 →
和と差の積を面積で見る。一辺 a の正方形から角の b² を除いた残り（左）を、細長い部分を切って右へ移すと、縦 a − b・横 a + b の長方形（右）になる。47 × 53 は a = 50、b = 3 の場合。
概数と暗算の技術 →
桁のものさし（対数目盛り）。1目盛りごとに10倍になる。1日はほぼ 10⁵ 秒、1年はほぼ 3 × 10⁷ 秒、一生はほぼ 10⁹ 秒台。下の段の 2 のべきは、10 乗ごとにちょうど 10³ ずつ進む。
概数と暗算の技術 →
20% 増やしてから 20% 減らすと 96 になり、元の 100 に戻らない。減らすときの 20% は、増えたあとの 120 の 20%（= 24）だから。
概数と暗算の技術 →
年率 3%・6%・9% で増えるときの成長（縦軸は「2倍ごと」に等間隔）。点は2倍・4倍・8倍に達した時点で、間隔がほぼ 72 ÷ 年率 になっている。縦軸をこう取ると、一定の割合で増えるものは直線になる。
概数と暗算の技術 →
見積もれない量を、見積もれる3つの量の掛け算に分解した木。各因子には「少なくとも〜多くても」の幅をつけ、代表値を1つ選んでから掛ける。
フェルミ推定の型 →
対数目盛りの上で見た幾何平均と算術平均。幾何平均（丸）は両端から「比で」等距離にあり、算術平均（縦線）は上限側に寄る。範囲が広いほどその差は大きい。
フェルミ推定の型 →
日本中で1日にトイレで流す水（約 5 × 10⁶ m³）を、学校の 25 m プール（約 360 m³）の数で表した図。小さな四角1つがプール 100 杯分。
フェルミ推定の型 →
同じ量を、使う情報がまったく違う2つの経路で推定した結果。自分の記憶からの 42 L と、統計資料からの 40 L がほぼ一致した。
フェルミ推定の型 →
因子の数とずれの大きさを変えて、推定を何千回もくり返すシミュレーション。点線が「全因子が同じ向きにずれた最悪の場合」、色の帯が「f² 倍以内」。最悪の場合はほとんど起きず、推定値は真の値の近くに集まる。ずれの標準偏差が √k に比例することも、理論値と並べて確かめられる。
フェルミ推定の型 →
立った姿勢での水流の模式図。出口から水面までの高さ h は約 0.6 m。落下の途中で水流は細くなり、やがて粒に分かれる。
立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか →
着水の速さの2乗 v² = v₀² + 2gh の内訳。勢いを半分にしても（2段目）ほとんど変わらないが、落差を小さくすると（3段目）大きく減る。
立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか →
水流が粒に分かれるまで（模式図）。表面張力で、波長が半径の約9倍のくびれが最も速く育ち、そのくびれでちぎれる。できる粒の直径は元の水流の約1.9倍になる。
立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか →
着水までの時間と、粒に分かれる時間帯を1本の時間軸に並べた図。座ると分裂より先に着水し、立つと分裂の時間帯と同じか後に着水する。
立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか →
落差・出る速さ・向き・出口での乱れを変えて、水流が粒に分かれる位置を見るシミュレーション（流量は 20 mL/s に固定）。軌道は本文の運動方程式を数値積分したもので、½v² + gy の保存を画面の数値で確かめられる。「座る」を押すと、水流は粒になる前に水面に届く。しぶきの飛び方は模式的な表現。
立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか →
粒が水面にぶつかったときの様子（模式図）。粒は水面をえぐり、縁が王冠のように立ち上がって、その先端から小さなしぶきが飛ぶ。つながった水流ではこの王冠ができにくい。
立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか →
直径 5 mm・速さ 3.8 m/s の粒がもつ運動エネルギーを、自分の表面エネルギーを1マスとして数えた図。約85マス分あり、細かいしぶきを作る余力が十分にある。
立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか →
飛び散る量を身近な量と比べた図。1日では小さじ1杯にも届かないが、1年積み重なるとコップ1〜2杯分になる。
立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか →
内壁に浅い角度で当てたときの速さの分解。壁に垂直な成分が v/2 になり、しぶきに使える運動エネルギーは 1/4 に減る。壁に沿った成分は、水が壁を伝って流れるのに使われる。
立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか →
確率 0.3 で 10 万円、0.7 で 0 円の話を10回くり返したときの一例。1回ごとには 10 万か 0 のどちらかだが、ならすと1回あたり 3 万円になる。これが期待値。
期待値で次の行動を選ぶ →
傘の判断を枝分かれで書いた図。持っていく枝は天気によらず手間 C、持っていかない枝は確率 p で損 L。枝の先の「期待される損」どうしを比べる。
期待値で次の行動を選ぶ →
傘の損益分岐のグラフ。持っていかないときの期待される損 pL（斜めの線）が、持つ手間 C（水平線）を超える確率が分岐点。この例では約 6.7% で、それより降水確率が高ければ持っていく。
期待値で次の行動を選ぶ →
見直し 10 分・手戻り 180 分のとき、見直しの精度 q と分岐点 p* の関係。雑な見直し（q が小さい）ほど、よほどミスが多い作業でないと割に合わない。
期待値で次の行動を選ぶ →
「少なくとも1回起きる確率」1 − (1 − p)ⁿ（実線）と、誤った計算 np（破線）。はじめは重なっているが、n が増えると破線だけが 100% を突き抜ける。実線は 100% に近づくだけで超えない。
期待値で次の行動を選ぶ →
1回あたり確率 p で起きることを n 回くり返す「1セット」を、乱数で何千セットも実験するシミュレーション。実験値（実線）は、理論値 1 − (1 − p)ⁿ のまわりの帯の中に収まりながら近づいていく。破線の np は、n を増やすと理論値から離れていく。
期待値で次の行動を選ぶ →
期待値は B のほうが大きいが、B は 70% の確率で何も得られない。一度きりで、しかも 25 万円がないと困る状況なら、A を選ぶのは合理的。期待値と「ばらつき」はいつも両方見る。
期待値で次の行動を選ぶ →
5人の年収を棒の高さで表した。たった1人の 3000 万円が平均値を 900 まで押し上げ、4人が平均値より下にいることに注目。中央値 400 は真ん中の人の値のまま動かない。
データの要約：代表値と散らばり →
右に裾の長い分布の例（架空の100人、階級幅100）。山の頂上が最頻値 250、50人目と51人目の境が中央値 400、階級値で計算した平均値は 464。裾の長い右側ほど平均値が遠くへ引っぱられていることに注目。
データの要約：代表値と散らばり →
A と B はどちらも平均 50。薄い帯は「平均 ± 標準偏差」の範囲で、A では点とほぼ重なるほど狭く、B では端から端まで広がることに注目。
データの要約：代表値と散らばり →
データ 4, 7, 8, 10, 11（平均 8）の偏差を棒で、偏差の2乗を正方形で描いた。左の負の棒（合計 −5）と正の棒（合計 +5）がちょうど打ち消し合い、右の正方形の面積の平均 6 が分散、その1辺 √6 が標準偏差になることに注目。
データの要約：代表値と散らばり →
z スコアは「平均から標準偏差何個ぶんか」の共通の物差し。テスト A が平均 70・標準偏差 8、B が平均 54・標準偏差 6 だったとすると、A の 78 点は z = 1（偏差値 60）、B の 66 点は z = 2（偏差値 70）で、点数の低い B のほうが集団の中では上位にあることに注目。
データの要約：代表値と散らばり →
表の累積相対度数を、各階級の上端の位置に打って線分で結んだ図（累積度数折れ線）。折れ線が 0.5 を横切る位置が中央値の目安で、20 + 10 × 0.15 ÷ 0.35 ≈ 24.3 分。階級の中でデータが一様に散らばると仮定した読み取りである点に注意。
度数分布・ヒストグラム・箱ひげ図 →
同じ40人のデータ（表に合うように作った例）を、階級幅だけ変えて描いた。幅 2 分では1人の違いで柱が上下し、幅 30 分では山の位置も裾の長さも分からない。中段の幅 10 分で初めて分布の形が読めることに注目。
度数分布・ヒストグラム・箱ひげ図 →
幅 200 の階級に 10 人、幅 400 の階級に 20 人いる例。左のように度数を高さにすると右の柱が面積4倍に見えるが、右のように高さを密度 0.05 にそろえると、面積の比が人数の比 1 : 2 に一致することに注目。
度数分布・ヒストグラム・箱ひげ図 →
11人の通勤時間を点で並べ、中央値 22 を境に5個ずつの下半分と上半分に分けた。それぞれの真ん中の点が Q1 と Q3 で、その間隔 IQR = 15 の 1.5 倍を Q3 から伸ばした基準 52.5 の外にある 70 が外れ値になることに注目。
度数分布・ヒストグラム・箱ひげ図 →
11人の通勤時間の箱ひげ図。ひげの右端は外れ値を除いた最大値 35 で、基準の 52.5 ではない。70 は外れ値として点で描いている。
度数分布・ヒストグラム・箱ひげ図 →
山が2つある分布（左）と平らな分布（右）。ヒストグラムはまったく違うが、四分位数がほぼ同じなので箱ひげ図はほとんど区別できない（模式図）。
度数分布・ヒストグラム・箱ひげ図 →
表に合うように作った40人のデータのヒストグラム（上）と箱ひげ図（下）。Q1 = 17.5 は 10 以上 20 未満、中央値 23 は 20 以上 30 未満、Q3 = 31 は 30 以上 40 未満の階級に入り、累積相対度数で予想した階級と一致することに注目。59 分は上側の基準 51.2 を超えるので外れ値として点で描いた。
度数分布・ヒストグラム・箱ひげ図 →
平均の位置で散布図を4つに分ける。右上と左下の点は偏差の積が正、左上と右下の点は負になる。右上がりの散布図では正の点が多く、共分散は正になる。
2変数の関係：相関係数と回帰直線 →
40点ずつの散布図と、描いた点の座標から計算した相関係数。|r| が 1 に近いほど点が1本の直線のまわりに細く集まり、0 に近いほど丸く広がること、符号が右上がりか右下がりかを表すことに注目。r = 0.3 程度では、目で見て傾向を言い当てるのはかなり難しい。
2変数の関係：相関係数と回帰直線 →
y = x² の5点。y は x から完全に決まるのに、平均の点（0, 2）から見た偏差の積は、左右で正と負が対になって打ち消し合い、和が 0 になることに注目。相関係数は「直線的な」関係しか測らない。
2変数の関係：相関係数と回帰直線 →
アンスコムの例（F. J. Anscombe, 1973）。4組のデータは平均・分散・相関係数・回帰直線がそろって同じなのに、散布図の形はまったく違うことに注目。要約の数値だけで判断せず、必ず散布図を描いて確かめる理由がここにある。分散は n で割った値（n − 1 で割ると x は 11、y は約 4.12）。
2変数の関係：相関係数と回帰直線 →
アイスの売上と水難事故に相関が出るしくみ。矢印（因果）は気温から両方へ向かっていて、下の2つのあいだには矢印がないことに注目。気温をそろえて比べれば、見かけの相関はほとんど消えるはずである。
2変数の関係：相関係数と回帰直線 →
点をドラッグして動かせる散布図（空いた所をクリックすると点が増える）。各点の残差を1辺とする正方形を描いてあり、その面積の合計が残差の2乗和 S。回帰直線は S を最小にする直線で、「自分で引いた直線と比べる」を押すと、どう引いても S が回帰直線より小さくならないことを確かめられる。
2変数の関係：相関係数と回帰直線 →
例の5人について、平均 64 で予測したときのずれ（左）と、回帰直線で予測したときの残差（右）を縦の線分で描いた。ずれの2乗の和が 670 から 107.5 に減り、減った割合が決定係数 0.840 になることに注目。
2変数の関係：相関係数と回帰直線 →
同じ散布図に対する2本の回帰直線。y の x への回帰（実線）は縦方向の、x の y への回帰（破線）は横方向の残差を最小にするので、傾きが異なる。どちらも平均の点を通る。
2変数の関係：相関係数と回帰直線 →
同じ文を2通りに読んだときの目の動き。返り読み（上）は日本語の語順に組み立てるために、後ろへ戻る・先へ飛ぶをくり返す。前から読む（下）と、1→2→3→4と一方向に進むだけで済む。
語順のまま読む：英語を頭から処理する →
英語は骨組み（誰が・どうする）が先に来て、詳細が右へ足されていく。チャンクごとに意味を確定させれば、戻る必要がない。
語順のまま読む：英語を頭から処理する →
例4の文を、チャンクごとにベルトコンベアのように左から右へ流した図。色つきの箱が骨組み（誰が・どうする）で、find it hard の it の中身は、すぐ後ろの to speak で届く。
語順のまま読む：英語を頭から処理する →
関係詞・前置詞句・to不定詞は、どれも説明する相手（名詞や動詞）の右側に付く。曲線の矢印は「どの語の説明か」を示すだけで、目は一番下の矢印のとおり左から右へ進めばよい。
語順のまま読む：英語を頭から処理する →
that の見分け方。上は suggested の目的語が欠けていて、その穴に the idea が入る（関係詞）。下は that 以下が欠けのない文で、the idea の中身そのものを述べている。
語順のまま読む：英語を頭から処理する →
短い骨組みを先に言い、詳細を1つずつ右へ足していく様子。1〜5のどこで止めても文として成り立っているので、完成文を頭の中で先に作る必要がない。
話すための型：結論・理由・例 →
PREP の4段を、在宅勤務の答えに当てはめた図。太字の部分が型で、中身を入れ替えればどの質問にも使える。上の2段（P・R）だけでも答えになり、最後の P は最初の P に言い方を変えて戻る。
話すための型：結論・理由・例 →
「炊飯器」が英語で出てこないときの言い換えの道筋。分類・用途・似たものの3つのどこからでも説明でき、足していくほど特定しやすくなる。相手が言い当ててくれたら、それが新しい単語になる。
話すための型：結論・理由・例 →
同じ質問に答えるまでの数秒間を、時間の流れに沿って並べた図。答えが出る時刻は同じでも、質問のくり返しとつなぎ言葉があれば、相手には「考えながら話している」と伝わり続ける。
話すための型：結論・理由・例 →
表の英語の例を、1つの指示として上から積み上げた図。色の帯が5つの部品で、右側はそれぞれが埋めている「AI が知らないこと」。材料の本文は引用符で区切って最後に置く。
英語でAIに指示を出す型 →
よく使う動詞6つを、入力（左）と出力（右）の形で描き分けた図。同じ「短くする」でも、Summarize は全体を圧縮し、Extract は指定した部分だけを元の形のまま取り出す。
英語でAIに指示を出す型 →
例1の書き直しを並べた図。あいまいな指示では何を求めているかを AI が推測するしかないが、具体的な指示では、部品ごとに空白が1つずつ埋まっている。右端は、その部品を足したことで直ること。
英語でAIに指示を出す型 →
指示は1回で完成させず、出力を確かめて追加の指示を送る輪を回す。追加の指示は「直す所」と「変えない所」を短く言えば足りる。
英語でAIに指示を出す型 →
CEFR の6段階を階段にした図。学校で英語を学んだが使えない段階なら、会話練習は A2、読解素材は B1 あたりから始め、難しさがずれたら1段ずつ動かす。
AIを英語の練習相手と添削者にする →
添削モードで返ってくる形の例。大きな誤りがあれば、直した箇所だけが変わった文と短い理由が並ぶ。正しい文は書き換えられず、OK とだけ返る。
AIを英語の練習相手と添削者にする →
1週間の練習メニューをカレンダーにした図。上の矢印は火曜と同じ場面を木曜にくり返すこと、下の矢印は月曜の素材を土曜に読み直すことを示す。新しいことを毎日足すより、同じ素材を2回使う設計になっている。
AIを英語の練習相手と添削者にする →
この章の設定を1つの輪にまとめた図。会話の途中では直さず、終わってから誤りを受け取り、種類ごとに記録して弱点を練習し、また同じ場面に戻る。輪を回すたびに、前回言えなかった表現が言えるようになる。
AIを英語の練習相手と添削者にする →
直角三角形と三角比。θ の位置によって、どの辺が対辺・隣辺になるかが変わる。
三角比とベクトルの分解 →
この2つの三角形を描けば、30°・45°・60° の三角比はすべて読み取れる。
三角比とベクトルの分解 →
斜面上の重力の分解。斜面の傾き角 θ が、重力ベクトルと斜面の法線がなす角として再登場する。
三角比とベクトルの分解 →
平均変化率（2点を結ぶ直線の傾き）は、h → 0 の極限で接線の傾きに近づく。
極限と微分 →
反射の法則。法線を境に、入射角 a と反射角 b が等しくなる。
光の性質 →
等加速度直線運動の v-t グラフ。傾きが加速度 a、色をつけた台形の面積が変位 x にあたる。
運動の記述 →
斜方投射。初速度を水平・鉛直に分解すれば、あとは既知の直線運動2つになる。
平面内の運動と放物運動 →
平行軸の定理。重心 G を通る軸（左）から距離 d だけ離れた平行な軸（右）へ移すと、慣性モーメントは Md² だけ増える。
剛体の力学と慣性モーメント →
辺の長さが異なる直方体の自由回転。「中間軸」を選ぶと、わずかなぶれが成長して回転が反転する。灰色の矢印は角運動量 L（向きも大きさも一定）、赤い矢印は角速度 ω。両者が平行でないことも確認できる。ドラッグで視点が回る。
剛体の力学と慣性モーメント →