運動の記述

物理の最初の仕事は、目に見える運動を数値で言い表せる形に翻訳することです。 「速かった」「だんだん遅くなった」という言い方では、二人の観測を突き合わせられません。 この章では、運動を記述するための4つの量を順に導入します。

位置と変位

直線上の運動を考えるとき、まず基準点（原点）と正の向きを決めます。 これを決めない限り「右に 3 m」は意味を持ちません。

物体の位置 $x$ は、原点からの符号つきの距離です。 時刻 $t_1$ に $x_1$、時刻 $t_2$ に $x_2$ にいたとき、その間の変位は

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

で定義されます。$\Delta$（デルタ）は「変化量」を表す記号で、必ず （後）−（前） の順で引きます。

速度と速さ

平均の速度

変位を、それにかかった時間で割った量が平均の速度です。

$$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$$

変位が符号つきなので、速度も符号つきです。負の速度は「負の向きに動いている」ことを表します。 これに対し速さは速度の絶対値 $|v|$ で、向きの情報を捨てた量です。

瞬間の速度

平均の速度は、区間の取り方によって値が変わります。 $\Delta t$ をどんどん短くしていったときに近づく値を、その時刻の瞬間の速度と呼びます。

$x$-$t$ グラフで言えば、平均の速度は2点を結ぶ直線の傾き、 瞬間の速度はその点における接線の傾きです。 以降、単に「速度」と言えば瞬間の速度を指します。

加速度

速度が時間とともに変わるとき、その変化の速さを加速度と呼びます。

$$\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$$

単位は $\mathrm{(m/s)/s} = \mathrm{m/s^2}$ です。

ここで符号の扱いに注意が必要です。 加速度が負であることと、減速していることは同じではありません。

等加速度直線運動

加速度が一定の直線運動を等加速度直線運動といいます。 自由落下や斜面を滑る物体がこれにあたり、高校物理で最も頻繁に登場する運動です。

時刻 $t = 0$ での速度を $v_0$（初速度）、位置を $x = 0$ とし、加速度を $a$ とします。

v-t グラフから3公式を導く

等加速度直線運動の $v$-$t$ グラフは直線になります。

傾きが加速度なので、時刻 $t$ での速度は初速度 $v_0$ に $at$ を足したものです。

$$v = v_0 + at$$

面積が変位です。図の台形は「上底 $v_0$、下底 $v$、高さ $t$」なので、

$$x = \frac{1}{2}(v_0 + v)\,t$$

これに公式①を代入して $v$ を消すと、

$$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$

さらに、公式①を $t = (v - v_0)/a$ と解いて台形の式に代入すると、$t$ を含まない関係が得られます。

$$v^2 - v_0^2 = 2ax$$

章末問題

問 1基本変位と道のり

数直線上を動く物体が、原点を出発して $x = +8.0\unit{m}$ まで進み、 そこから引き返して $x = -2.0\unit{m}$ で止まった。 この間の変位と道のりをそれぞれ求めよ。

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変位は始点と終点だけで決まるので

$$\Delta x = (-2.0) - 0 = -2.0\unit{m}$$

道のりは実際に動いた長さの合計で

$$8.0 + 10.0 = 18\unit{m}$$

変位 $-2.0\unit{m}$、道のり $18\unit{m}$。 引き返す運動では、変位の大きさと道のりは一致しません。

問 2標準等加速度直線運動

初速度 $10\unit{m/s}$ で正の向きに走っていた自動車が、 一定の加速度 $-2.0\unit{m/s^2}$ で減速し始めた。

(1) 停止するまでにかかる時間を求めよ。 (2) 停止するまでに進む距離を求めよ。

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(1) 停止とは $v = 0$ になること。公式① $v = v_0 + at$ より

$$0 = 10 + (-2.0)\,t \quad\Longrightarrow\quad t = 5.0\unit{s}$$

(2) 時間が (1) で求まっているので公式②でもよいのですが、 ここでは時間を使わない公式③を使ってみます。

$$v^2 - v_0^2 = 2ax \;\Longrightarrow\; 0 - 10^2 = 2 \times (-2.0) \times x$$$$x = \frac{-100}{-4.0} = 25\unit{m}$$

答: (1) $5.0\unit{s}$、(2) $25\unit{m}$。

なお (2) は「$v$-$t$ グラフの三角形の面積」と見ても $\frac{1}{2} \times 5.0 \times 10 = 25\unit{m}$ とすぐ出ます。

問 3発展符号の扱い

小球を地面から真上に初速度 $19.6\unit{m/s}$ で投げ上げた。 鉛直上向きを正とし、重力加速度の大きさを $9.8\unit{m/s^2}$ とする。

(1) 最高点に達する時刻と、そのときの高さを求めよ。 (2) 投げ上げてから $3.0\unit{s}$ 後の速度と位置を求め、 そのとき小球が上昇中か下降中かを答えよ。

解答を見る

上向きを正としたので、加速度は $a = -9.8\unit{m/s^2}$（下向き）で運動の間ずっと一定です。

(1) 最高点では速度が $0$ になります。公式①より

$$0 = 19.6 + (-9.8)t \quad\Longrightarrow\quad t = 2.0\unit{s}$$

高さは公式③が速い。

$$0 - 19.6^2 = 2 \times (-9.8) \times x \;\Longrightarrow\; x = \frac{-384.16}{-19.6} = 19.6\unit{m}$$

(2) 公式①より

$$v = 19.6 + (-9.8)(3.0) = -9.8\unit{m/s}$$

公式②より

$$x = 19.6 \times 3.0 + \frac{1}{2}(-9.8)(3.0)^2 = 58.8 - 44.1 = 14.7\unit{m}$$

速度が負なので下降中。位置は正なのでまだ地面より上（高さ $14.7\unit{m}$）にいます。

答: (1) $2.0\unit{s}$、$19.6\unit{m}$　(2) 速度 $-9.8\unit{m/s}$、位置 $14.7\unit{m}$、下降中。

この問題の要点は、上昇・下降・最高点を場合分けせず、1つの式で通せることです。 上向きを正と決めたら、加速度は最初から最後まで $-9.8\unit{m/s^2}$。 「上昇中は…、下降中は…」と分けて考える必要はありません。