概数と暗算の技術

この章の目的は、暗算が速くなることそのものではありません。 電卓を叩く前に、答えがおよそいくつになるかを知っておくことです。

電卓は、0 を1つ多く押しても、小数点を打ち間違えても、黙って間違った答えを出します。 先に「だいたい $200$ くらい」と分かっていれば、電卓が $2000$ と出した瞬間に気づけます。 この章の技術は、次の章のフェルミ推定、その次の現象の見積もりの土台になります。

数を「仮数」と「桁」に分ける

どんな数も、1〜10 の数と 10 のべきの積に書けます。

$$32000 = 3.2 \times 10^{4}, \qquad 0.006 = 6 \times 10^{-3}$$

前半を仮数、後半を桁と呼ぶことにします。 掛け算・割り算では、この2つを別々に計算できます。

$$32000 \times 0.006 = (3.2 \times 6) \times 10^{4 + (-3)} = 19.2 \times 10 = 192$$

仮数の計算は $3.2 \times 6 \approx 19$ と1〜2桁で済み、桁の計算は指数の足し算だけです。 難しい計算を、易しい計算2つに分けたことになります。

割り算は「掛けていくつか」に直す

割り算は掛け算より暗算しにくいので、よく使う逆数を目印として持っておくと便利です。 これも覚えるものではなく、一度自分で割って確かめておけば十分です。

割る数	逆数	使い方
$3$	$0.333\ldots$	「3で割る」は「$0.33$ を掛ける」
$6$	$0.167$	$1/3$ の半分
$7$	$0.143$	$7 \times 0.143 = 1.001$ で確かめられる
$8$	$0.125$	$1/2$ を3回
$9$	$0.111\ldots$

2桁の掛け算を暗算する

分配法則で「丸い数」に寄せる

$98 \times 37$ は、$98$ を $100 - 2$ と見ると一気に易しくなります。

$$98 \times 37 = (100 - 2) \times 37 = 3700 - 74 = 3626$$

$48 \times 25$ なら、$25 \times 4 = 100$ を使います。

$$48 \times 25 = 12 \times 4 \times 25 = 12 \times 100 = 1200$$

和と差の積

2つの数が「ある数から同じだけ離れている」ときは、和と差の積が使えます。

$$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$$

たとえば $47 \times 53$ は、どちらも $50$ から $3$ だけ離れているので

$$47 \times 53 = (50 - 3)(50 + 3) = 2500 - 9 = 2491$$

目印になる数を自分で導く

見積もりでよく使う数を、導き方ごと持っておきます。導き方を知っていれば、忘れても復元できます。

2の10乗はほぼ1000

$$2^{10} = 1024 \approx 10^{3}$$

これだけで、2のべきが桁に直せます。 たとえば $2^{20} = (2^{10})^{2} \approx 10^{6}$（約100万）、$2^{30} \approx 10^{9}$（約10億）。 コンピュータの容量で「キロ・メガ・ギガ」がほぼ $2^{10}$ 刻みなのはこのためです。

両辺の常用対数をとると、もう1つ目印が手に入ります。

$$10 \log_{10} 2 \approx 3 \quad\Longrightarrow\quad \log_{10} 2 \approx 0.30$$

1年はおよそ $3 \times 10^{7}$ 秒

$$1\ \text{年} = 365 \times 24 \times 3600\unit{s} = 365 \times 86400\unit{s} = 31\,536\,000\unit{s} \approx 3.2 \times 10^{7}\unit{s}$$

1日は $86400\unit{s} \approx 10^{5}\unit{s}$ と丸めておくと、秒と日の換算がすぐにできます。

$\sqrt{10}$ はおよそ $3$

$3.16^{2} \approx 10$ なので、$\sqrt{10} \approx 3.16$。 「$10$ の半分の桁」、たとえば $\sqrt{1000} = 10\sqrt{10} \approx 32$ がすぐ出ます。 次の章で使う「桁の真ん中を取る」操作は、この平方根を使います。

割合と百分率

増減は掛け算で重ねる

「20% 増えたあと 20% 減った」は元に戻りません。

$$1.2 \times 0.8 = 0.96$$

4% 減っています。割合の増減は足し算ではなく掛け算で重なるからです。

ただし、増減が小さいときは足し算で近似できます。

$$(1 + a)(1 + b) = 1 + a + b + ab \approx 1 + a + b \qquad (a, b \text{ が小さいとき})$$

$ab$ は $a$ や $b$ よりずっと小さいので捨てられる、ということです。 3% 増と 2% 増なら約 5% 増（正確には 5.06%）。20% 増と 20% 減では $ab = -0.04$ が無視できず、上の近似は使えません。

72の法則

年率 $r$ で増えるもの（複利の預金、成長する売上、物価など）が2倍になるまでの年数 $n$ は、 次の式で見積もれます。

$$n \approx \frac{72}{r\,(\%)}$$

たとえば年 6% なら $72 / 6 = 12$ 年で2倍。

導出。 2倍になる条件は $(1 + r)^{n} = 2$。両辺の自然対数をとると

$$n \ln(1 + r) = \ln 2$$

$r$ が小さいとき $\ln(1 + r) \approx r$ なので

$$n \approx \frac{\ln 2}{r} = \frac{0.693}{r} = \frac{69.3}{r\,(\%)}$$

本当は「69の法則」です。$72$ を使うのは、実用的な $r$（数 %）では $\ln(1+r)$ が $r$ より少し小さい分をちょうど補うことと、 $72$ が $2, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ で割り切れて暗算しやすいことの2つの理由からです。 年 6% の正確な値は $\ln 2 / \ln 1.06 = 11.9$ 年で、72の法則の 12 年とほぼ一致します。

電卓の答えを疑う

概算の本当の使い道は検算です。電卓で計算する前に、仮数と桁だけで答えの見当をつけます。

章末問題

問 1基本2桁の掛け算

次の計算を暗算で行え。どの技を使ったかも書くこと。

(1) $25 \times 36$ (2) $99 \times 47$ (3) $62 \times 58$

解答を見る

(1) $25 \times 4 = 100$ を使います。$36 = 9 \times 4$ なので

$$25 \times 36 = 25 \times 4 \times 9 = 100 \times 9 = 900$$

(2) $99 = 100 - 1$ と見て分配法則。

$$99 \times 47 = 4700 - 47 = 4653$$

(3) どちらも $60$ から $2$ 離れているので、和と差の積。

$$62 \times 58 = (60 + 2)(60 - 2) = 3600 - 4 = 3596$$

答: (1) 900 (2) 4653 (3) 3596

問 2標準桁の見積もり

(1) 80年の一生は約何秒か。有効数字2桁で答えよ。 (2) 心臓が1分間に平均70回拍動するとして、80年で何回拍動するか。桁が分かる形で答えよ。

解答を見る

(1) 1年 $\approx 3.15 \times 10^{7}\unit{s}$ を使います。

$$80 \times 3.15 \times 10^{7}\unit{s} = 252 \times 10^{7}\unit{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\unit{s}$$

答: 約 $2.5 \times 10^{9}$ 秒（25億秒）

(2) 1年は $365 \times 24 \times 60 = 525{,}600$ 分 $\approx 5.3 \times 10^{5}$ 分。

$$70 \times 5.3 \times 10^{5} \times 80 = (70 \times 80) \times 5.3 \times 10^{5} = 5600 \times 5.3 \times 10^{5} \approx 3.0 \times 10^{9}$$

答: 約 $3 \times 10^{9}$ 回（30億回）

(1) の秒数と比べると、心臓は「ほぼ1秒に1回」なので、一生の秒数と拍動の回数が同じ桁になるのは自然です。 こうした別の見方での突き合わせが、概算の答えを信頼できるものにします。

問 3発展72の法則と2の10乗

年利 3% の複利で運用するとき、次の問いに答えよ。

(1) 元本が2倍になるのは約何年後か。72の法則で求めよ。 (2) 元本が約1000倍になるのは約何年後か。$2^{10} \approx 1000$ を使って求めよ。 (3) (1) を $\ln 2 / \ln 1.03$ で正確に計算すると $23.4$ 年になる。これを使うと (2) は何年になるか。

解答を見る

(1) $72 / 3 = 24$。答: 約24年後

(2) 1000倍は $2^{10}$ 倍、つまり「2倍になる」を10回くり返すことです。

$$24 \times 10 = 240\ \text{年}$$

答: 約240年後

(3) $23.4 \times 10 = 234$ 年。答: 約234年後

72の法則の誤差（$24$ と $23.4$）が10倍に拡大され、6年の差になりました。 それでも「数百年かかる」という桁の結論は変わりません。見積もりでは、 結論が変わらない範囲の誤差は気にしなくてよい、という判断も大切です。