平面内の運動と放物運動｜物理

物理基礎では直線上の運動だけを扱いました。この章では平面へ広げますが、新しい法則は何も出てきません。やることはただひとつ、運動を2方向に分解して、それぞれに既知の公式を当てることです。

速度と加速度のベクトル

平面上の運動では、位置は位置ベクトル $\vec{r} = (x,\, y)$ で表します。速度・加速度も同様に成分で書けます。

\vec{v} = (v_x,\, v_y), \qquad \vec{a} = (a_x,\, a_y)

速度・加速度の成分表示

重要なのは、 $x$ 成分と $y$ 成分がたがいに影響しないことです。 $x$ 方向の運動は $x$ 成分の式だけで完結し、 $y$ 方向も同様です。これを運動の独立性といいます。

相対速度

観測者 A から見た物体 B の速度を相対速度といい、次で与えられます。

\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B - \vec{v}_A

相対速度

「見られる側から見る側を引く」と覚えます。順序を逆にすると符号が反転します。

水平投射

高さ $h$ の位置から、水平方向に初速度 $v_0$ で物体を投げ出します。水平右向きを $x$ の正、鉛直下向きを $y$ の正にとりましょう。

働く力は重力だけなので、加速度は $a_x = 0$ 、 $a_y = +g$ です。

	$x$ 方向	$y$ 方向
加速度	$0$	$g$
初速度	$v_0$	$0$
運動の種類	等速直線運動	自由落下

したがって、時刻 $t$ での速度と位置は

v_x = v_0, \qquad v_y = gt

x = v_0 t, \qquad y = \frac{1}{2}gt^2

$t$ を消去すると軌道の式が得られます。 $t = x/v_0$ を $y$ の式に代入して

y = \frac{g}{2v_0^2}x^2

$y$ が $x^2$ に比例する——つまり軌道は放物線です。

斜方投射

水平から角 $\theta$ の向きに、初速度 $v_0$ で投げ上げます。今度は鉛直上向きを $y$ の正にとります（加速度が $-g$ になります）。

初速度を成分に分けると

v_{0x} = v_0\cos\theta, \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta

図 1斜方投射。初速度を水平・鉛直に分解すれば、あとは既知の直線運動2つになる。

あとは水平投射と同じで、方向ごとに公式を当てるだけです。

v_x = v_0\cos\theta \quad(\text{一定}), \qquad v_y = v_0\sin\theta - gt

x = (v_0\cos\theta)\,t, \qquad y = (v_0\sin\theta)\,t - \frac{1}{2}gt^2

最高点と水平到達距離

最高点では $v_y = 0$ です。

0 = v_0\sin\theta - gt \;\Longrightarrow\; t_{\text{頂}} = \frac{v_0\sin\theta}{g}

このときの高さは

H = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}

最高点の高さ

水平到達距離は、 $y = 0$ に戻る時刻が対称性より $t = 2t_{\text{頂}}$ であることから

R = (v_0\cos\theta)\cdot\frac{2v_0\sin\theta}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\theta\cos\theta}{g}

$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ を使って

R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}

水平到達距離

章末問題

問 1基本水平投射

高さ $19.6\unit{m}$ のがけの上から、水平方向に $15\unit{m/s}$ で小球を投げ出した。重力加速度を $9.8\unit{m/s^2}$ 、空気抵抗は無視する。

(1) 地面に達するまでの時間を求めよ。 (2) がけのふもとから着地点までの水平距離を求めよ。

解答を見る

鉛直下向きを正にとります。

(1) 鉛直方向は初速度 $0$ の自由落下なので

19.6 = \frac{1}{2}(9.8)t^2 \;\Longrightarrow\; t^2 = 4.0 \;\Longrightarrow\; t = 2.0\unit{s}

水平方向の初速度 $15\unit{m/s}$ は、この計算に一切関係しません。

(2) 水平方向は等速直線運動なので

x = 15 \times 2.0 = 30\unit{m}

答: (1) $2.0\unit{s}$ 、(2) $30\unit{m}$ 。

問 2標準斜方投射

地面から、水平と $30°$ をなす向きに初速度 $19.6\unit{m/s}$ でボールを打ち出した。重力加速度を $9.8\unit{m/s^2}$ とする。

(1) 最高点の高さを求めよ。 (2) 水平到達距離を求めよ。

解答を見る

初速度の成分は

v_{0x} = 19.6\cos 30° = 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.0\unit{m/s}

v_{0y} = 19.6\sin 30° = 19.6 \times \frac{1}{2} = 9.8\unit{m/s}

(1) 鉛直方向のみで考えます。最高点で $v_y = 0$ なので、公式③より

0 - 9.8^2 = 2(-9.8)H \;\Longrightarrow\; H = \frac{96.04}{19.6} = 4.9\unit{m}

(2) 最高点までの時間は $t_{\text{頂}} = 9.8/9.8 = 1.0\unit{s}$ 、滞空時間はその2倍で $2.0\unit{s}$ 。よって

R = 17.0 \times 2.0 \approx 34\unit{m}

公式 $R = v_0^2\sin 2\theta / g$ で確かめると $R = 19.6^2 \times \sin 60° / 9.8 = 39.2 \times 0.866 \approx 34\unit{m}$ で一致します。

答: (1) $4.9\unit{m}$ 、(2) 約 $34\unit{m}$ 。

問 3発展相対速度

静水時の速さが $4.0\unit{m/s}$ の船で、流れの速さ $3.0\unit{m/s}$ の川（幅 $80\unit{m}$ ）を渡る。

(1) 船首を対岸に向けてまっすぐ進んだとき、対岸に着くまでの時間と、流されるきょりを求めよ。 (2) 流されずに真正面の対岸へ着くには、船首を上流側へ何度傾ければよいか。またそのとき渡るのにかかる時間を求めよ。

解答を見る

川を横切る向きを $x$ 、流れの向きを $y$ とします。

(1) 船首を対岸に向けたので、船の $x$ 方向の速度は $4.0\unit{m/s}$ のまま。流れは $x$ 方向の運動に影響しません（運動の独立性）。

t = \frac{80}{4.0} = 20\unit{s}

その間ずっと $3.0\unit{m/s}$ で流されるので

y = 3.0 \times 20 = 60\unit{m}

(2) 流されないためには、船の速度の $y$ 成分が流れをちょうど打ち消せばよい。船首を上流へ角 $\theta$ 傾けると

4.0\sin\theta = 3.0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta = 0.75 \;\Longrightarrow\; \theta \approx 49°

このとき対岸へ向かう速度成分は

4.0\cos\theta = \sqrt{4.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{7.0} \approx 2.65\unit{m/s}

t = \frac{80}{2.65} \approx 30\unit{s}

答: (1) $20\unit{s}$ 、 $60\unit{m}$ 　(2) 上流へ約 $49°$ 、約 $30\unit{s}$ 。

(1) より (2) のほうが時間がかかります。速度の一部を流れの打ち消しに使うため、対岸へ向かう成分が減るからです。

平面内の運動と放物運動

この章の到達目標

速度と加速度のベクトル

相対速度

水平投射

斜方投射

最高点と水平到達距離

章末問題

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