度数分布・ヒストグラム・箱ひげ図

前の章では、データを平均や標準偏差といった数個の数値に要約しました。 しかし数値だけでは、分布が左右対称なのか、裾が長いのか、山が2つあるのかは分かりません。

この章では、分布の形を見るための表と図を扱います。 統計検定2級では、ヒストグラムと箱ひげ図を対応させる問題や、図から代表値の大小を読み取る問題が 頻繁に出ます。図を「眺める」のではなく、図の各部分が何の数値に対応しているかを正確に押さえます。

度数分布表

データをいくつかの区間（階級）に分け、各階級に入るデータの個数（度数）を数えた表を 度数分布表と呼びます。 階級の幅を階級幅、階級の中央の値を階級値と言います。

40人の通勤時間（分）を集計した例です。

階級（分）	階級値	度数	相対度数	累積相対度数
$0$ 以上 $10$ 未満	$5$	$4$	$0.100$	$0.100$
$10$ 以上 $20$ 未満	$15$	$10$	$0.250$	$0.350$
$20$ 以上 $30$ 未満	$25$	$14$	$0.350$	$0.700$
$30$ 以上 $40$ 未満	$35$	$8$	$0.200$	$0.900$
$40$ 以上 $50$ 未満	$45$	$3$	$0.075$	$0.975$
$50$ 以上 $60$ 未満	$55$	$1$	$0.025$	$1.000$
計		$40$	$1.000$

• 相対度数 = 度数 ÷ 全体の個数。全体に占める割合で、合計は必ず $1$ になる
• 累積相対度数 = その階級までの相対度数の合計。「その階級の上端未満のデータが全体の何割か」を表す

相対度数に直すと、人数の違うデータどうし（40人のクラスと200人の学年など）を同じ尺度で比べられます。

累積相対度数は、中央値がどの階級にあるかを教えてくれます。 $0.5$ を初めて超えるのは $20$ 以上 $30$ 未満の階級（$0.350 \to 0.700$）なので、中央値はこの階級に入ります。 同じ考え方で、$0.25$ と $0.75$ を超える階級を探せば、後で扱う四分位数のおおよその位置も分かります。 累積相対度数を折れ線で描くと（図 1）、中央値のおおよその値まで読み取れます。

度数分布表から平均を求める

元のデータが失われていて度数分布表しかないときは、 各階級のデータがすべて階級値に等しいとみなして平均を計算します。

$$\bar{x} \approx \frac{1}{n}\sum_{k} m_k f_k$$

$m_k$ は階級値、$f_k$ は度数です。上の表では

$$\bar{x} \approx \frac{5 \times 4 + 15 \times 10 + 25 \times 14 + 35 \times 8 + 45 \times 3 + 55 \times 1}{40} = \frac{990}{40} = 24.75$$

これは「$m_k$ という値が $f_k$ 個ある」データの平均そのものです。 階級内でデータが偏っていなければ、真の平均に近い値になります。 度数が最大の階級の階級値 $25$ が、この表での最頻値です。

ヒストグラム

度数分布表を、横軸に階級、縦軸に度数をとった柱の図にしたものがヒストグラムです。 棒グラフと違い、柱と柱の間をあけません。横軸が連続した量だからです。

階級幅の選び方

階級幅を変えると、同じデータでもヒストグラムの見た目は大きく変わります。

• 幅が広すぎると、柱が少なくなり、山が2つあるといった特徴がつぶれて見えなくなる
• 幅が狭すぎると、各階級の度数が少なくなり、偶然の凸凹ばかりが目立つ

目安として、階級の数を $1 + \log_2 n$ 程度にするスタージェスの公式が知られています。 $n = 40$ なら $1 + \log_2 40 \approx 6.3$ で、6個前後です。 ただしこれは出発点にすぎません。いくつか幅を変えて描き、分布の特徴が安定して見える幅を選ぶのが実際的です。 図 2 は、上の表と一致するように作った40人のデータを、3通りの階級幅で描いたものです。

階級幅が不ぞろいなとき：高さではなく面積

年収の分布のように、値の大きい側でデータがまばらになる場合、 右側の階級だけ幅を広くとることがあります。 このとき柱の高さに度数をそのまま使ってはいけません。

例えば幅 $200$ の階級に $10$ 人、幅 $400$ の階級に $20$ 人いるとします。 高さを度数にすると、後者の柱は前者の2倍の高さで、しかも2倍の幅になり、面積は4倍に見えます。 しかし実際には「値 $1$ あたりの人数」は $10/200 = 20/400 = 0.05$ で、まったく同じ密度です。 図 3 の左右を見比べてください。

四分位数と箱ひげ図

四分位数

データを小さい順に並べ、個数で4等分する位置の値を四分位数と呼びます。

• 第1四分位数 $Q_1$ … 下から $25\%$ の位置
• 第2四分位数 $Q_2$ … $50\%$ の位置。中央値と同じ
• 第3四分位数 $Q_3$ … 下から $75\%$ の位置

本書では、日本の高校「数学Ⅰ」の教科書で一般的な次の方法を使います。

1. 全体の中央値を求め、それを $Q_2$ とする
2. データを中央値を境に下半分と上半分に分ける。個数が奇数のときは、中央値そのものはどちらにも入れない
3. 下半分の中央値を $Q_1$、上半分の中央値を $Q_3$ とする

11人の通勤時間（分）で求めてみます。

$$8,\ 12,\ 15,\ 18,\ 20,\ \mathbf{22},\ 25,\ 27,\ 30,\ 35,\ 70$$

中央値は6番目の $Q_2 = 22$。 下半分 $8, 12, 15, 18, 20$ の中央値が $Q_1 = 15$、 上半分 $25, 27, 30, 35, 70$ の中央値が $Q_3 = 30$ です。 図 4 は、この手順を点の並びで示したものです（下の外れ値の判定も書き込んであります）。

四分位範囲と外れ値

$Q_3 - Q_1$ を四分位範囲（IQR: interquartile range）と呼びます。 データの中央の約半分が入っている区間の幅で、散らばりの指標の1つです。

範囲（最大値 − 最小値）は両端の2つの値だけで決まるので、外れ値が1つあるだけで大きく変わります。 四分位範囲は両端の $25\%$ ずつを無視するので、外れ値の影響を受けにくい。 平均に対する中央値と同じく、頑健な散らばりの指標です。

外れ値を判定する基準として、次がよく使われます。

$$x < Q_1 - 1.5 \times \mathrm{IQR} \quad \text{または} \quad x > Q_3 + 1.5 \times \mathrm{IQR}$$

上の例では $\mathrm{IQR} = 30 - 15 = 15$ なので、$1.5 \times 15 = 22.5$。

$$Q_1 - 22.5 = -7.5, \qquad Q_3 + 22.5 = 52.5$$

$52.5$ を超える $70$ が外れ値と判定されます（図 4）。 $1.5$ という係数は「経験的にちょうどよい」として広まった慣習で、理論から一意に決まる値ではありません。 外れ値と判定されたデータは、機械的に削除するのではなく、入力ミスなのか本当に極端な値なのかを確かめる対象です。

箱ひげ図

箱ひげ図は、5つの値（最小値・$Q_1$・中央値・$Q_3$・最大値）を1本の図にまとめたものです。

• $Q_1$ から $Q_3$ までを箱で描き、中央値の位置に線を引く
• 箱の両端からひげを伸ばす
• 外れ値を区別する描き方では、ひげは外れ値を除いた最大値・最小値まで伸ばし、外れ値は点で別に描く

箱ひげ図とヒストグラムを読み比べる

箱ひげ図の長所は、多数のグループを横に並べて比べやすいことです。 クラスごと・年度ごとの分布を10本並べても、中央値の上下や散らばりの違いが一目で分かります。 ヒストグラムを10枚並べるより、ずっと比較しやすい。

分布の歪みも読み取れます。 右に裾の長い分布では、中央値が箱の中で左に寄り、右のひげが長くなったり、右側に外れ値が現れたりします。 図 5 では中央値が箱のわずかに左寄りにあり、右側に外れ値 $70$ が離れて描かれています。

一方で、箱ひげ図は5つの数値しか使わないので、分布の細かい形を捨てています。

図 6 の A は、中央付近にほとんどデータがなく、両側に2つの山があります。 例えば「初心者と経験者が混ざったグループの得点」のように、性質の違う2つの集団が混ざるとこうなります。 ところが箱ひげ図では、中央値の周りにデータがないことは表現されません。

箱ひげ図で見えなくなる主なものは次のとおりです。

• 山の数（単峰か二峰か）
• 分布の途中にあるすき間
• データの個数（10個でも1万個でも同じ見た目になりうる）

図 7 は、図 2 と同じ40人のデータで、この対応を確かめたものです。

章末問題

問 1基本度数分布表

20人の小テストの得点を集計したところ、次の度数分布表を得た。

階級（点）	度数
$0$ 以上 $10$ 未満	$2$
$10$ 以上 $20$ 未満	$5$
$20$ 以上 $30$ 未満	$8$
$30$ 以上 $40$ 未満	$4$
$40$ 以上 $50$ 未満	$1$

(1) 各階級の相対度数と累積相対度数を求めよ。 (2) 階級値を用いて平均を求めよ。 (3) 中央値が入る階級を答えよ。

解答を見る

(1) 相対度数は度数 ÷ $20$、累積相対度数はそれを上から足したものです。

階級（点）	度数	相対度数	累積相対度数
$0$ 以上 $10$ 未満	$2$	$0.10$	$0.10$
$10$ 以上 $20$ 未満	$5$	$0.25$	$0.35$
$20$ 以上 $30$ 未満	$8$	$0.40$	$0.75$
$30$ 以上 $40$ 未満	$4$	$0.20$	$0.95$
$40$ 以上 $50$ 未満	$1$	$0.05$	$1.00$

最後の累積相対度数が $1.00$ になることで、計算の抜けがないことを確認できます。

(2) 階級値は $5, 15, 25, 35, 45$ です。

$$\bar{x} \approx \frac{5 \times 2 + 15 \times 5 + 25 \times 8 + 35 \times 4 + 45 \times 1}{20} = \frac{10 + 75 + 200 + 140 + 45}{20} = \frac{470}{20} = 23.5$$

(3) 累積相対度数が初めて $0.5$ を超えるのは $20$ 以上 $30$ 未満の階級（$0.35 \to 0.75$）です。 20人の中央値は10番目と11番目の平均で、どちらも8番目から15番目が入るこの階級にあります。

答: (2) $23.5$ 点　(3) $20$ 点以上 $30$ 点未満

問 2標準四分位数と外れ値

次の12個のデータ（小さい順に並べてある）について答えよ。 四分位数は本文の方法（下半分・上半分それぞれの中央値）で求めること。

$$12,\ 15,\ 17,\ 18,\ 20,\ 21,\ 22,\ 24,\ 25,\ 27,\ 30,\ 52$$

(1) $Q_1$、中央値、$Q_3$、四分位範囲を求めよ。 (2) 1.5×IQR の基準で外れ値を判定せよ。 (3) 外れ値を区別する箱ひげ図を描くとき、ひげの両端の値を答えよ。

解答を見る

(1) 12個は偶数なので、中央値は6番目と7番目の平均です。

$$Q_2 = \frac{21 + 22}{2} = 21.5$$

下半分は $12, 15, 17, 18, 20, 21$（6個）で、その中央値は3番目と4番目の平均。

$$Q_1 = \frac{17 + 18}{2} = 17.5$$

上半分は $22, 24, 25, 27, 30, 52$ で、同様に

$$Q_3 = \frac{25 + 27}{2} = 26$$$$\mathrm{IQR} = 26 - 17.5 = 8.5$$

(2) $1.5 \times 8.5 = 12.75$ なので、基準は

$$Q_1 - 12.75 = 4.75, \qquad Q_3 + 12.75 = 38.75$$

$4.75$ 未満のデータはなく、$38.75$ を超えるのは $52$ だけです。外れ値は $52$。

(3) ひげは基準の内側にある実際のデータの端まで伸ばします。 下側は最小値 $12$（$4.75$ 以上なので外れ値ではない）、 上側は $52$ を除いた最大値 $30$ です。

答: (1) $Q_1 = 17.5$、中央値 $21.5$、$Q_3 = 26$、IQR $= 8.5$　(2) $52$　(3) 下端 $12$、上端 $30$

なお、表計算ソフトの関数では $Q_1 = 17.75$、$Q_3 = 25.5$ のように少し違う値になることがあります（定義の違い）。 この場合も IQR $= 7.75$、上側の基準は $25.5 + 11.625 = 37.125$ で、$52$ が外れ値という結論は変わりません。

問 3発展階級幅が不ぞろいなヒストグラム

ある地域の100世帯の年収を集計したところ、次の度数分布表を得た。

階級（万円）	度数
$0$ 以上 $200$ 未満	$10$
$200$ 以上 $400$ 未満	$30$
$400$ 以上 $600$ 未満	$40$
$600$ 以上 $1000$ 未満	$20$

(1) 柱の面積が度数を表すヒストグラムを描くとき、各柱の高さ（度数 ÷ 階級幅、単位は 世帯/万円）を求めよ。 (2) 誤って度数をそのまま高さにして描くと、$600$ 以上 $1000$ 未満の柱はどのように誤解されるか説明せよ。 (3) 各階級の中でデータが一様に散らばっていると仮定して、年収が $500$ 万円以上 $700$ 万円未満の世帯数を推定せよ。 (4) 同じ仮定のもとで、中央値を推定せよ。

解答を見る

(1)

$$\frac{10}{200} = 0.05, \qquad \frac{30}{200} = 0.15, \qquad \frac{40}{200} = 0.20, \qquad \frac{20}{400} = 0.05$$

(2) 度数を高さにすると、$600$ 以上 $1000$ 未満の柱は高さ $20$ で $0$ 以上 $200$ 未満（高さ $10$）の2倍になり、 幅も2倍なので面積は4倍に見えます。実際の世帯数は2倍にすぎず、 しかも (1) のとおり単位年収あたりの世帯数（密度）は両者とも $0.05$ で同じです。 高所得の側に世帯が多く集まっているかのように誤解されます。

(3) 一様に散らばっていると仮定すると、区間に入る世帯数は「密度 × 区間の幅」です。

$$500 \sim 600:\ 0.20 \times 100 = 20, \qquad 600 \sim 700:\ 0.05 \times 100 = 5$$

合わせて 約 $25$ 世帯。ヒストグラムでいえば、該当する部分の柱の面積を足したことになります。

(4) 100世帯の中央値は、下から $50$ 世帯目あたりの値です。 $400$ 万円未満までの累積が $10 + 30 = 40$ 世帯なので、残り $10$ 世帯ぶんを $400$ 以上 $600$ 未満の階級から取ります。 この階級の密度は $0.20$ 世帯/万円なので、必要な幅は $10 \div 0.20 = 50$ 万円。

$$\text{中央値} \approx 400 + 50 = 450\ \text{万円}$$

答: (1) $0.05,\ 0.15,\ 0.20,\ 0.05$　(3) 約 $25$ 世帯　(4) 約 $450$ 万円