極限と微分｜物理のための数学

物理基礎では、等加速度運動を「 $v$ - $t$ グラフの傾きと面積」で扱いました。あの方法は、グラフが直線でなければ使えません。

微分積分は、この制限を外す道具です。 傾きを求める操作が微分、面積を求める操作が積分で、グラフが曲線でも同じことができるようになります。

平均変化率から瞬間の変化率へ

関数 $f(x)$ について、 $x$ が $a$ から $a + h$ まで変わるときの平均変化率は

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

これはグラフ上の2点を結ぶ直線の傾きです。

$h$ を小さくしていくと、この直線は点 $(a, f(a))$ における接線に近づきます。その極限を微分係数と呼びます。

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

微分係数の定義

各点での微分係数を対応させた関数 $f'(x)$ を導関数と呼び、 $\dfrac{\dd f}{\dd x}$ とも書きます。

図 1平均変化率（2点を結ぶ直線の傾き）は、h → 0 の極限で接線の傾きに近づく。

定義から計算してみる

$f(x) = x^2$ の導関数を定義から求めます。

\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h

$h \to 0$ とすれば

f'(x) = 2x

導関数の公式

$f(x)$	$f'(x)$
$x^n$	$nx^{n-1}$
定数 $c$	$0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\log x$	$1/x$

積の微分と連鎖律

(fg)' = f'g + fg'

積の微分

\frac{\dd}{\dd x}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)

合成関数の微分（連鎖律）

連鎖律は物理で極めて頻繁に使います。「外側を微分して、内側の微分を掛ける」と覚えます。

\frac{\dd}{\dd t}\sin(\omega t) = \cos(\omega t)\cdot\omega = \omega\cos(\omega t)

物理での意味：位置・速度・加速度

物理における微分の最大の用途はこれです。

v = \deriv{x}{t}, \qquad a = \deriv{v}{t} = \frac{\dd^2 x}{\dd t^2}

運動の記述

位置を時間で微分すると速度、速度をもう一度微分すると加速度です。

例：等加速度運動

$x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ を時間で微分します。

v = \deriv{x}{t} = v_0 + at

もう一度微分すると

\deriv{v}{t} = a

加速度が定数 $a$ として出てきました。 物理基礎で3つ並べて覚えた公式が、1つの式を微分するだけでつながります。

例：単振動

$x = A\sin(\omega t)$ を微分します。連鎖律を使って

v = A\omega\cos(\omega t), \qquad a = -A\omega^2\sin(\omega t)

ここで $x = A\sin(\omega t)$ を思い出すと

a = -\omega^2 x

微分が 0 になる点

$f'(x) = 0$ の点では接線が水平になります。そこは関数が増加から減少へ（またはその逆へ）折り返す点で、最大値・最小値の候補です。

物理では次のように使います。

最高点 — 投げ上げた物体が $v = \dd x/\dd t = 0$ になる時刻
最大の飛距離 — 到達距離を角度で微分して $0$ にする
つりあいの位置 — 位置エネルギー $U(x)$ が $\dd U/\dd x = 0$ を満たす点

章末問題

問 1基本導関数の計算

次の関数を $t$ で微分せよ。

(1) $x = 3t^3 - 5t + 2$ (2) $x = \cos(2t)$ (3) $x = t^2\sin t$

解答を見る

(1) 各項に $x^n \to nx^{n-1}$ を使い、定数は $0$ 。

\deriv{x}{t} = 9t^2 - 5

(2) 連鎖律。外側 $\cos$ を微分して $-\sin$ 、内側 $2t$ の微分は $2$ 。

\deriv{x}{t} = -\sin(2t)\cdot 2 = -2\sin(2t)

(3) 積の微分 $(fg)' = f'g + fg'$ 。 $f = t^2$ 、 $g = \sin t$ 。

\deriv{x}{t} = 2t\sin t + t^2\cos t

問 2標準運動への応用

質点の位置が $x(t) = 4t^3 - 12t^2 + 9t$ （ $x$ は $\mathrm{m}$ 、 $t$ は $\mathrm{s}$ ）で与えられている。

(1) 速度 $v(t)$ と加速度 $a(t)$ を求めよ。 (2) 質点が一時的に止まる時刻をすべて求めよ。 (3) 運動の向きが変わる回数を答えよ。

解答を見る

(1) 順に微分します。

v = \deriv{x}{t} = 12t^2 - 24t + 9

a = \deriv{v}{t} = 24t - 24

(2) 止まるのは $v = 0$ のとき。

12t^2 - 24t + 9 = 0 \;\Longrightarrow\; 4t^2 - 8t + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; (2t-1)(2t-3) = 0

t = 0.50\unit{s},\quad t = 1.5\unit{s}

(3) $v = 12(t - 0.5)(t - 1.5)$ と因数分解できるので、符号は

$t < 0.5$ … $v > 0$ （正の向き）
$0.5 < t < 1.5$ … $v < 0$ （負の向き）
$t > 1.5$ … $v > 0$ （正の向き）

符号が2回変わるので、向きが変わるのは2回。

なお $a = 0$ となる $t = 1.0\unit{s}$ は、速度が最小（最も負）になる時刻で、向きが変わる時刻ではありません。 $v = 0$ と $a = 0$ の意味を混同しないでください。

問 3発展微分による最適化

初速 $v_0$ で、水平から角 $\theta$ の向きに物体を投げ出す。空気抵抗を無視すると水平到達距離は

R(\theta) = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\theta

で与えられる。

(1) $R$ を最大にする $\theta$ を、微分を使って求めよ。 (2) $\theta = 30°$ と $\theta = 60°$ で $R$ が等しくなることを示し、その理由を述べよ。

解答を見る

(1) $\theta$ で微分します。連鎖律より

\deriv{R}{\theta} = \frac{v_0^2}{g}\cdot 2\cos 2\theta

これが $0$ になるのは $\cos 2\theta = 0$ 、すなわち

2\theta = 90° \;\Longrightarrow\; \theta = 45°

これが最大であることを確かめます。もう一度微分すると

\frac{\dd^2 R}{\dd\theta^2} = -\frac{4v_0^2}{g}\sin 2\theta

$\theta = 45°$ で $\sin 90° = 1 > 0$ なので第2次導関数は負。よって極大です。

答: $\theta = 45°$ 。

(2) $\sin(2\times 30°) = \sin 60°$ 、 $\sin(2\times 60°) = \sin 120°$ で、 $\sin 120° = \sin(180° - 120°) = \sin 60°$ なので両者は等しい。

一般に $\sin 2\theta = \sin(180° - 2\theta)$ であり、 $180° - 2\theta = 2(90° - \theta)$ なので

R(\theta) = R(90° - \theta)

つまり $\theta$ と $90° - \theta$ は同じ距離を与えます。 $45°$ を挟んで対称なので、 $30°$ と $60°$ 、 $20°$ と $70°$ が対になります。

物理的には、低い角度は「速いが滞空時間が短い」、高い角度は「遅いが滞空時間が長い」で、両者の積がちょうど釣り合っています。

極限と微分

この章の到達目標

平均変化率から瞬間の変化率へ

定義から計算してみる

導関数の公式

積の微分と連鎖律

物理での意味：位置・速度・加速度

例：等加速度運動

例：単振動

微分が 0 になる点

章末問題

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