三角比とベクトルの分解｜物理のための数学

物理で三角比を使う場面は、ほぼ1つに集約されます。 斜めを向いた量を、直交する2方向に分けることです。

力・速度・加速度はすべてベクトルで、斜めを向いていると扱いにくい。そこで縦と横（あるいは斜面に平行と垂直）に分けて、方向ごとに考えます。この章はその作業に必要な分だけを扱います。

直角三角形と三角比

直角三角形の1つの鋭角を $\theta$ とし、辺を次のように呼びます。

斜辺 — 直角の向かい側にある、最も長い辺
対辺 — $\theta$ の向かい側の辺
隣辺 — $\theta$ に隣接する（斜辺でない）辺

\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}

三角比の定義

図 1直角三角形と三角比。θ の位置によって、どの辺が対辺・隣辺になるかが変わる。

覚えるべき値は2つの三角形だけ

$30°,45°,60°$ の三角比は、次の2つの三角形を描けばその場で読み取れます。表を暗記する必要はありません。

正方形を対角線で切った三角形 … 辺の比 $1 : 1 : \sqrt{2}$ （ $45°$ ）
正三角形を高さで切った三角形 … 辺の比 $1 : \sqrt{3} : 2$ （ $30°, 60°$ ）

図 2この2つの三角形を描けば、30°・45°・60° の三角比はすべて読み取れる。

読み取ると

\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}}

\sin 45° = \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \tan 45° = 1

\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}, \quad \tan 60° = \sqrt{3}

値の妥当性をその場で確かめるポイント

$\sin$ は「対辺 ÷ 斜辺」で、斜辺は必ず最長なので $0 \le \sin\theta \le 1$ 。 $\cos$ も同じ理由で $0 \le \cos\theta \le 1$ （ $0°$ から $90°$ の範囲）。

もし計算の途中で $\sin\theta = 1.5$ のような値が出たら、その時点で誤りです。

また $\theta$ が小さいとき対辺は短いので $\sin\theta$ は小さく、 $\cos\theta$ は $1$ に近い。 $\sin 30° = 1/2$ と $\cos 30° = \sqrt{3}/2 \approx 0.87$ はこの感覚と合っています。どちらがどちらか迷ったら、 $\theta \to 0$ の極限を考えてください。

ベクトルの分解

大きさ $F$ のベクトルが、 $x$ 軸から角 $\theta$ だけ傾いているとします。このベクトルを $x$ 方向と $y$ 方向の成分に分けます。

ベクトルを斜辺とする直角三角形を描くと、 $x$ 成分は $\theta$ の隣辺、 $y$ 成分は対辺です。したがって

F_x = F\cos\theta, \qquad F_y = F\sin\theta

ベクトルの成分分解

逆に、成分から大きさと向きに戻すには

F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}, \qquad \tan\theta = \frac{F_y}{F_x}

斜面上の重力を分解する

物理で最も頻繁に現れる分解です。傾き角 $\theta$ の斜面に、質量 $m$ の物体が置かれています。

重力 $mg$ は鉛直下向きですが、物体は斜面に沿って動くので、斜面に平行な成分と垂直な成分に分けたい。

図 3斜面上の重力の分解。斜面の傾き角 θ が、重力ベクトルと斜面の法線がなす角として再登場する。

図から、重力ベクトルと斜面の法線がなす角が、斜面の傾き $\theta$ と等しくなります。したがって法線方向（斜面に垂直）が隣辺、斜面に平行な方向が対辺で

\text{斜面に平行} = mg\sin\theta, \qquad \text{斜面に垂直} = mg\cos\theta

斜面上の重力の分解

平行が sin、垂直が cos になる理由つまずきやすい点

「斜面だから $\sin$ 」と覚えるのは危険です。なぜそうなるかを1度追ってください。

斜面の傾きが $\theta$ のとき、斜面の法線は鉛直から $\theta$ だけ傾いています。重力は鉛直下向きなので、重力と法線のなす角が $\theta$ 。

よって法線方向が隣辺（ $\cos$ ）、それに垂直な斜面方向が対辺（ $\sin$ ）です。

極限で確かめるのが最も確実です。

$\theta \to 0$ （水平）… 斜面に平行な成分は $0$ になるべき。 $\sin 0° = 0$ ✓
$\theta \to 90°$ （垂直な壁）… 物体は自由落下し、平行成分が $mg$ そのものになるべき。 $\sin 90° = 1$ ✓

$\sin$ と $\cos$ を入れ替えると、この極限が両方とも合わなくなります。 迷ったら $\theta = 0$ と $\theta = 90°$ を入れてみる。 これが最も速い確認法です。

章末問題

問 1基本三角比の計算

大きさ $20\unit{N}$ の力が、水平から $60°$ 上向きに傾いている。この力の水平成分と鉛直成分を求めよ。

解答を見る

角は水平（ $x$ 軸）から測られているので、 $x$ 成分が隣辺で $\cos$ 、 $y$ 成分が対辺で $\sin$ 。

F_x = 20\cos 60° = 20 \times \frac{1}{2} = 10\unit{N}

F_y = 20\sin 60° = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17\unit{N}

答: 水平成分 $10\unit{N}$ 、鉛直成分約 $17\unit{N}$ 。

検算として $\sqrt{10^2 + (10\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 300} = 20\unit{N}$ で、元の大きさに戻ります。分解したあと大きさが復元するかを確かめる習慣をつけてください。

問 2標準斜面上の力

傾き角 $30°$ のなめらかな斜面上に、質量 $2.0\unit{kg}$ の物体が置かれている。重力加速度を $9.8\unit{m/s^2}$ とする。

(1) 斜面に平行な重力成分の大きさを求めよ。 (2) 斜面から受ける垂直抗力の大きさを求めよ。 (3) 物体の加速度の大きさを求めよ。

解答を見る

重力の大きさは $mg = 2.0 \times 9.8 = 19.6\unit{N}$ 。

(1) 斜面に平行な成分は $mg\sin\theta$ 。

19.6 \times \sin 30° = 19.6 \times 0.50 = 9.8\unit{N}

(2) 斜面に垂直な方向では物体は動かないので、垂直抗力 $N$ は重力の垂直成分とつりあいます。

N = mg\cos\theta = 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17\unit{N}

(3) なめらか（摩擦なし）なので、斜面方向の力は $mg\sin\theta$ だけ。運動方程式より

ma = mg\sin\theta \;\Longrightarrow\; a = g\sin\theta = 9.8 \times 0.50 = 4.9\unit{m/s^2}

答: (1) $9.8\unit{N}$ 、(2) 約 $17\unit{N}$ 、(3) $4.9\unit{m/s^2}$ 。

(3) で $m$ が約分されて消えることに注目してください。 なめらかな斜面を滑り降りる加速度は質量によりません。

問 3発展軸の選び方

傾き角 $\theta$ の斜面上に物体を置き、斜面に沿って上向きに力 $F$ を加えて一定の速さで引き上げている。斜面と物体の間の動摩擦係数を $\mu$ とする。

(1) 斜面に平行・垂直に軸をとって、 $F$ を $m,g,\theta,\mu$ で表せ。 (2) もし水平・鉛直に軸をとった場合、計算はどう変わるか。なぜ斜面に沿って軸をとるほうがよいかを説明せよ。

解答を見る

(1) 斜面に平行な方向を $x$ 、垂直な方向を $y$ にとります。

$y$ 方向：物体は斜面から離れないので加速度 $0$ 。

N - mg\cos\theta = 0 \;\Longrightarrow\; N = mg\cos\theta

$x$ 方向：一定の速さなので加速度 $0$ 。上向きに引いているので動摩擦力は斜面下向き。

F - mg\sin\theta - \mu N = 0

$N$ を代入して

F = mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta = mg(\sin\theta + \mu\cos\theta)

(2) 水平・鉛直に軸をとると、 $F$ と $N$ と摩擦力の3つすべてが斜めを向くため、それぞれを2成分に分解する必要が生じます。式は

F\cos\theta - N\sin\theta - \mu N\cos\theta = 0

F\sin\theta + N\cos\theta - \mu N \sin\theta - mg = 0

のような連立になり、 $N$ を消去する手間が増えます。答えは同じですが計算量が数倍です。

斜面に沿って軸をとると、分解が必要なベクトルが重力1本だけになります。 $F$ 、 $N$ 、摩擦力はすべて軸に平行または垂直なので分解不要です。

軸の選び方の原則は「分解しなければならないベクトルの本数を最小にする」こと。斜面の問題では斜面に沿って、円運動では動径方向と接線方向に取る。どちらも同じ考え方です。

三角比とベクトルの分解

この章の到達目標

直角三角形と三角比

覚えるべき値は2つの三角形だけ

ベクトルの分解

斜面上の重力を分解する

章末問題

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