期待値で次の行動を選ぶ｜暮らしの計算と確率

傘を持って出るか。見直しをしてから提出するか。この案件とあの案件のどちらを先にやるか。毎日の判断の多くは、結果が確率的にしか分からないなかで行われます。

この章では、そうした判断を数字で比べる道具として期待値を使います。目的は、すべての判断を計算で決めることではありません。 「確率がいくつ以上なら動くか」を先に決めておき、迷う時間を減らすことです。

期待値とは

結果 $x_1, x_2, \ldots$ がそれぞれ確率 $p_1, p_2, \ldots$ で起こるとき、

E = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \cdots = \sum_{i} p_i x_i

期待値

を期待値と呼びます。「同じ判断を何度もくり返したとき、1回あたり平均していくらになるか」という意味です。

たとえば、確率 $0.3$ で $10$ 万円もうかり、確率 $0.7$ で何も起きない話の期待値は

E = 0.3 \times 10 + 0.7 \times 0 = 3\ \text{万円}

1回ごとには $10$ 万円か $0$ 円のどちらかで、 $3$ 万円になることは一度もありません。それでも、100回くり返せばほぼ $300$ 万円になります。期待値はくり返したときの平均です。

図 1確率 0.3 で 10 万円、0.7 で 0 円の話を10回くり返したときの一例。1回ごとには 10 万か 0 のどちらかだが、ならすと1回あたり 3 万円になる。これが期待値。

傘を持つか：損益分岐の確率

傘の判断を数字にしてみます。

傘を持つ手間（荷物になる、置き忘れる心配）を、お金に換算して $C$ 円
雨に濡れたときの損（服、体調、不快さ）を $L$ 円
雨が降る確率を $p$

とします。

行動	雨（確率 $p$ ）	晴れ（確率 $1-p$ ）	期待される損
持っていく	$C$	$C$	$C$
持っていかない	$L$	$0$	$pL$

図 2傘の判断を枝分かれで書いた図。持っていく枝は天気によらず手間 C、持っていかない枝は確率 p で損 L。枝の先の「期待される損」どうしを比べる。

持っていくほうが得なのは、 $C < pL$ のとき、つまり

p > \frac{C}{L}

損益分岐の確率

のときです。この $p^{*} = C/L$ を損益分岐の確率と呼ぶことにします。

持つ手間を $100$ 円、濡れる損を $1500$ 円と見積もるなら、 $p^{*} = 100/1500 \approx 0.067$ 。 降水確率が 10% 以上なら持っていく、と朝の天気予報を見る前に決められます。

図 3傘の損益分岐のグラフ。持っていかないときの期待される損 pL（斜めの線）が、持つ手間 C（水平線）を超える確率が分岐点。この例では約 6.7% で、それより降水確率が高ければ持っていく。

仕事の例：見直しをするか

書類を出す前に見直すかどうかも、同じ形で考えられます。

見直しにかかる時間： $10$ 分
ミスがあったときの手戻り： $3$ 時間（ $180$ 分）
ミスがある確率： $p$

見直しでミスを必ず見つけられるなら、分岐点は $p^{*} = 10/180 \approx 5.6\%$ 。「20回に1回以上ミスをする作業なら見直す」ことになります。

実際には、見直しても全部のミスは見つけられません。見つけられる割合を $q$ とすると、見直しで防げる損は $pqL$ なので、条件は

pqL > C \qquad\Longleftrightarrow\qquad p > \frac{C}{qL}

見直しの精度 $q$ が低いほど、分岐点は上がります。

図 4見直し 10 分・手戻り 180 分のとき、見直しの精度 q と分岐点 p* の関係。雑な見直し（q が小さい）ほど、よほどミスが多い作業でないと割に合わない。

雑な見直しは、やっても割に合わないことがある、ということです。見直すなら $q$ を上げる方法（時間を置く、声に出す、チェックリストを使う）を一緒に考えます。

小さな確率のくり返し

1回あたりの確率が小さくても、何度もくり返すと無視できなくなります。 1回あたり確率 $p$ で起きることを、独立に $n$ 回くり返すとき、少なくとも1回起きる確率は

1 - (1 - p)^{n}

少なくとも1回起きる確率

です。「 $n$ 回とも起きない」確率 $(1-p)^{n}$ を $1$ から引いています。

「1% を 50 回で 50%」ではないつまずきやすい点

1回 1% で失敗する作業を 50 回くり返したとき、少なくとも1回失敗する確率を $0.01 \times 50 = 50\%$ とするのは誤りです。

1 - 0.99^{50} \approx 1 - 0.605 = 0.395

正しくは約 40% です。 $np$ という計算は、「失敗が2回以上起きる場合」を重ねて数えてしまいます。 $n = 200$ なら $np = 200\%$ になってしまい、確率として意味をなさないことからも誤りが分かります。

ただし $np$ が小さいとき（おおむね $0.1$ 以下）は $1 - (1-p)^{n} \approx np$ と近似してよいです。重なりが起きること自体がまれだからです。

図 5「少なくとも1回起きる確率」1 − (1 − p)ⁿ（実線）と、誤った計算 np（破線）。はじめは重なっているが、n が増えると破線だけが 100% を突き抜ける。実線は 100% に近づくだけで超えない。

電卓で $(1-p)^{n}$ を計算しにくいときは、次の近似が便利です。

(1 - p)^{n} \approx e^{-np} \qquad (p \text{ が小さいとき})

$np = 1$ なら $e^{-1} \approx 0.37$ 。つまり「平均して1回起きる」だけくり返しても、約37%の確率で一度も起きない、ということです。

図 61回あたり確率 p で起きることを n 回くり返す「1セット」を、乱数で何千セットも実験するシミュレーション。実験値（実線）は、理論値 1 − (1 − p)ⁿ のまわりの帯の中に収まりながら近づいていく。破線の np は、n を増やすと理論値から離れていく。

期待値だけで決めてはいけないとき

期待値は「くり返したときの平均」なので、くり返せない判断では、それだけを根拠にできません。

期待値の外側を見るべき3つの場面ポイント

1. 取り返しのつかない損があるとき。 期待値がプラスでも、確率 1% で全財産を失う賭けは、何度もくり返せば、いつか必ず破産します。破産したらその後の「平均」を受け取れません。

2. 一度きりで、結果のばらつきが大きいとき。 確率 0.3 で 100 万円（期待値 30 万円）と、確実に 25 万円。期待値は前者が上でも、その 25 万円がないと家賃が払えないなら、後者を選ぶのは合理的です。

3. 期待値がマイナスでも、確率の低い大きな結果に意味があるとき。 宝くじは、法律で払い戻しの割合が売上の5割を超えないように定められており、期待値は購入額の半分に届きません。それでも買う人がいるのは、当たったときの人生の変わり方に、金額以上の価値を置いているからです。その価値判断自体は計算の外側にあります。期待値は、その「値段」を教えてくれる道具だと考えてください。

図 7期待値は B のほうが大きいが、B は 70% の確率で何も得られない。一度きりで、しかも 25 万円がないと困る状況なら、A を選ぶのは合理的。期待値と「ばらつき」はいつも両方見る。

フォン・ノイマンの「効用の期待値」発展

「金額の期待値だけでは決められない」ことを、数学として正面から扱ったのが、数学者ジョン・フォン・ノイマンと経済学者オスカー・モルゲンシュテルンです。 1944年の『ゲームの理論と経済行動』（公理からの証明は1947年の第2版で補われた）で、2人は「人がいくつかの自然な条件を満たす選び方をするなら、その人にとっての価値（効用）を数値にでき、選択は効用の期待値の比較として表せる」ことを示しました。

家賃が払えなくなる 25 万円の不足は、余裕があるときの 25 万円より重い。金額ではなく効用で期待値をとれば、上の「期待値の外側」の多くは、期待値の枠の中で説明できます。

フォン・ノイマンはまた、数学者スタニスワフ・ウラムとともに、乱数で実験をくり返して確率や積分を求める方法を 1940年代後半に計算機で実用化しました。のちに「モンテカルロ法」と呼ばれる方法で、この章のシミュレーションもそのやり方です。

結果のばらつきは、統計では分散や標準偏差で表します。期待値とあわせて「平均的にいくらか」と「どれだけぶれるか」の2つを見るのが、確率で判断するときの基本です。

章末問題

問 1基本損益分岐の確率

傘を持つ手間を $50$ 円、雨に濡れる損を $1000$ 円と見積もる。

(1) 損益分岐の確率を求めよ。 (2) 降水確率が 10% の日、傘を持っていくべきか。

解答を見る

(1) $p^{*} = C/L = 50/1000 = 0.05$ 。答: 5%

(2) $10\% > 5\%$ なので、持っていくべき。

持っていかないときの期待される損は $0.1 \times 1000 = 100$ 円で、持つ手間の $50$ 円より大きい、と確かめられます。

問 2標準見直しの損得

ある書類の作成では、確率 8% でミスが入る。ミスが見つからないまま提出すると、手戻りに4時間かかる。見直しには15分かかり、ミスがあればその 75% を見つけられる。

(1) 見直しをすると、平均して何分の手戻りを防げるか。 (2) 見直しは割に合うか。 (3) ミスの確率が何 % 以上なら、見直しが割に合うか。

解答を見る

(1) 防げる手戻りの期待値は $p \times q \times L$ 。

0.08 \times 0.75 \times 240\ \text{分} = 14.4\ \text{分}

答: 約14分

(2) 見直しのコスト15分に対して、防げる手戻りは14.4分。わずかに割に合わない（ほぼ拮抗）。

(3) $p > C/(qL)$ より

p^{*} = \frac{15}{0.75 \times 240} = \frac{15}{180} \approx 0.083

答: 約 8.3% 以上

実際にはほぼ拮抗しているので、判断を分けるのは数字に入れていない要素です。手戻りで相手からの信頼を失うなら $L$ はもっと大きく、見直しは割に合います。見直しの精度 $q$ を上げる工夫ができるなら、それも見直す側に傾けます。 拮抗しているときは、計算に入れていない要素を探すきっかけにしてください。

問 3発展小さな確率のくり返し

ある通勤経路で、1日に事故に遭う確率を $1/10000$ と仮定する（説明のための仮の値）。1年の通勤日数を 250 日とする。

(1) 1年間に少なくとも1回事故に遭う確率を求めよ。 (2) 10年間（2500日）ではどうか。 (3) (2) を $np$ で近似すると何 % になるか。正しい値とどれだけ違うか。

解答を見る

(1) $np = 250 \times 10^{-4} = 0.025$ と小さいので、 $1 - (1-p)^{n} \approx 1 - e^{-np}$ を使います。

1 - e^{-0.025} \approx 1 - 0.9753 = 0.0247

答: 約 2.5%（ $np = 2.5\%$ とほぼ同じ）

(2) $np = 2500 \times 10^{-4} = 0.25$ 。

1 - e^{-0.25} \approx 1 - 0.779 = 0.221

答: 約 22%

(3) $np = 25\%$ 。正しい値 22% より 3 ポイントほど大きい。

1年なら $np$ で十分ですが、10年になると $np$ が $0.25$ まで大きくなり、近似の誤差が目立ってきます。また、1日には $1/10000$ と無視できそうな確率でも、10年では 5人に1人以上になります。毎日のくり返しで起きることは、1回あたりの確率ではなく、くり返した合計で評価する必要があります。

期待値で次の行動を選ぶ

この章の到達目標

期待値とは

傘を持つか：損益分岐の確率

仕事の例：見直しをするか

小さな確率のくり返し

期待値だけで決めてはいけないとき

章末問題

次に読むなら