立ったまま小便をすると、どれだけ飛び散るか

「立って用を足すと、どのくらい飛び散るのか」。 気になっても、床を拭きながら量を測る人はいません。この章では、測らずに見積もります。

使う道具は、前章のフェルミ推定の型と、物理の3つの考え方だけです。 水流の速さ、落下による加速、表面張力による水流の分裂。 どれも電卓で計算できる形まで落とし込みます。

問いを分解する

「飛び散る量」は、そのままでは見積もれません。次のように分けます。

1. 水流はどのくらいの速さで出るのか
2. 便器の水面に届くとき、どのくらいの速さになっているのか
3. 水流は、届く前に粒に分かれているのか
4. 粒が当たると、どのくらい跳ね返るのか

1と2は力学、3と4は表面張力の問題です。順に片づけます。

1. 水流の出る速さ

流量 $Q$（1秒あたりに流れる体積）と、水流の断面積 $A$ が分かれば、速さは

$$v_0 = \frac{Q}{A}$$

で求まります。1秒間に流れた水は、断面積 $A$、長さ $v_0 \times 1\unit{s}$ の円柱になるからです。

泌尿器科で測る尿流量の検査では、成人男性の勢いが強いときの流量は毎秒 $20\unit{mL}$ 前後が目安です。 水流の直径は数 mm なので、$4\unit{mm}$（半径 $2\unit{mm}$）とします。

$$A = \pi r^{2} = 3.14 \times (2 \times 10^{-3}\unit{m})^{2} \approx 1.26 \times 10^{-5}\unit{m^2}$$ $$v_0 = \frac{2 \times 10^{-5}\unit{m^3/s}}{1.26 \times 10^{-5}\unit{m^2}} \approx 1.6\unit{m/s}$$

2. 水面に届くときの速さ

立った姿勢では、出口の高さは床から約 $0.8$ 〜 $0.9\unit{m}$、洋式便器の水面は床から $0.2\unit{m}$ 前後です。 落差 $h$ は約 $0.6\unit{m}$ とします。

空気抵抗を無視すると、力学的エネルギー保存から、着水の速さ $v$ は

$$v^{2} = v_0^{2} + 2gh$$

$$v^{2} = (1.6)^{2} + 2 \times 9.8 \times 0.6 = 2.56 + 11.76 \approx 14.3 \qquad\Longrightarrow\qquad v \approx 3.8\unit{m/s}$$

$v^{2}$ の内訳を見てください。出る勢いの寄与 $2.56$ に対して、落下の寄与は $11.76$ で、4倍以上あります。

着水までの時間も見積もっておきます。水流がほぼ水平に出るとすると、落差 $0.6\unit{m}$ を落ちる時間は

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{1.2}{9.8}} \approx 0.35\unit{s}$$

やや下向きに出れば、もう少し短くなります。着水までは約 $0.3\unit{s}$。この数字を次の節で使います。

3. 水流はどこで粒になるか

蛇口から細く水を出すと、はじめは1本の棒のようでも、下のほうでは粒の列になります。 これは表面張力のしわざです。

同じ体積なら、細長い円柱より、いくつかの球に分かれたほうが表面積が小さくなります。 表面張力は表面積を小さくしようとするので、円柱の水流にできたわずかなくびれが育ち、やがてちぎれて粒になります。

ちぎれるまでの時間を次元解析で見積もる

この過程に効く量は、水の密度 $\rho$、表面張力 $\sigma$、水流の半径 $r$ です。 この3つから時間の次元を持つ組み合わせを作ると、ただ1つに決まります （「単位と次元」の章の章末問題3と同じ計算です）。

$$\tau = \sqrt{\frac{\rho r^{3}}{\sigma}}$$

水に近い値として $\rho = 1000\unit{kg/m^3}$、$\sigma = 0.07\unit{N/m}$、$r = 2 \times 10^{-3}\unit{m}$ を入れます。

$$\tau = \sqrt{\frac{1000 \times 8 \times 10^{-9}}{0.07}} = \sqrt{1.1 \times 10^{-4}} \approx 0.01\unit{s}$$

$\tau$ は「くびれが目に見えて育つ時間」の目安です。実際にちぎれるまでには、 最初のごく小さな乱れが水流の太さほどに育つ必要があり、$\tau$ の十数倍〜数十倍かかります。

$$t_{\text{分裂}} \approx 0.15 \sim 0.3\unit{s}$$

さらに、落下で速くなった水流は細くなります。流量 $Q = \pi r^{2} v$ が一定なので、$r$ は $v^{-1/2}$ に比例します。 $1.6\unit{m/s}$ から $3.8\unit{m/s}$ になると、半径は $\sqrt{1.6/3.8} \approx 0.65$ 倍。 細い水流ほど $\tau$ が短い（$r^{3/2}$ に比例）ので、分裂はさらに早まります。

結論: 分裂までの時間 $0.15$ 〜 $0.3\unit{s}$ は、着水までの時間 約 $0.3\unit{s}$ と同じか短い。 立った姿勢では、水流は水面に届く前後で粒に分かれていると見てよい。

米国の流体力学の研究グループが高速度カメラで調べた報告でも、ふつうに立った姿勢では、着水の時点で水流はすでに粒に分かれていたとされています。 見積もりと観察が合っています。

4. 粒が当たると、なぜ跳ねるか

1本の水流が水面に入るのと、粒が次々とぶつかるのとでは、跳ね方が大きく違います。 粒は1つずつ水面をえぐり、そのたびに王冠状のしぶきを立てるからです。

粒の大きさは、ちぎれる前の水流の直径の約2倍になることが知られています。 細くなった水流（直径約 $2.6\unit{mm}$）から、直径 $5\unit{mm}$ 程度の粒ができます。

運動エネルギーと表面エネルギーを比べる

粒がしぶきになるには、新しい表面を作るエネルギーが要ります。 直径 $D$ の粒について、運動エネルギーと表面のエネルギーの比をとります。

$$\frac{\text{運動エネルギー}}{\text{表面エネルギー}} = \frac{\frac{1}{2}\rho\left(\frac{\pi}{6}D^{3}\right)v^{2}}{\sigma \cdot \pi D^{2}} = \frac{\rho D v^{2}}{12\sigma}$$

$D = 5 \times 10^{-3}\unit{m}$、$v = 3.8\unit{m/s}$ を入れると

$$\frac{1000 \times 5 \times 10^{-3} \times 14.3}{12 \times 0.07} \approx 85$$

粒は、自分の表面を作り直すエネルギーの約85倍を持って水面にぶつかっています。

小さな滴をたくさん作って飛ばすのに、エネルギーは十分すぎるほどあります。

5. 何滴、どれだけ飛ぶか

ここまでで「立つと粒になり、粒は跳ねる」ことは分かりました。 ただ、どれだけの割合が便器の外まで届くかは、便器の形・狙う位置・床までの距離に強く依存し、第一原理からは出せません。 こういうときは、観測された数字を1つ借りて、別の量に換算するのがフェルミ推定のやり方です。

日用品メーカーの実験として、「男性が立って小用をすると、1日で約 $2{,}300$ 滴が便器の外に飛び散る」という数字がよく紹介されます。 これを体積に直します。

外まで飛ぶのは細かいしぶきなので、直径を $0.5$ 〜 $1\unit{mm}$ とします。直径 $1\unit{mm}$ の滴の体積は

$$\frac{\pi}{6}D^{3} = \frac{3.14}{6} \times (1\unit{mm})^{3} \approx 0.52\unit{mm^3} = 0.52\ \mu\mathrm{L}$$

$2300$ 滴では

$$2300 \times 0.52\ \mu\mathrm{L} \approx 1.2 \times 10^{3}\ \mu\mathrm{L} = 1.2\unit{mL}$$

直径 $0.5\unit{mm}$ なら体積は $1/8$ で、約 $0.15\unit{mL}$。 1日に $0.1$ 〜 $1\unit{mL}$ 程度、1年では

$$(0.15 \sim 1.2)\unit{mL} \times 365 \approx 50 \sim 440\unit{mL}$$

多いほうの見積もりでは、コップ2杯分ほどが1年で床や壁に広がる計算です。

1回の量を $250\unit{mL}$、1日5回とすると、1日の尿は約 $1.2\unit{L}$。 飛び散る割合は $0.1$ 〜 $1\unit{mL}$ を $1200\unit{mL}$ で割って、約 $0.01$ 〜 $0.1\%$。 全体から見ればごくわずかですが、それが毎日くり返されるところに問題の本質があります。

6. 見積もりから対策を選ぶ

ここまでの見積もりから、効く対策と効かない対策が理由つきで分かります。

対策	効くか	理由
勢いを弱める	ほとんど効かない	着水の速さは落差で決まる（第2節）
便器に近づく・落差を小さくする	効く	着水が遅くなり、粒に分かれる前に届きやすくなる
水面ではなく便器の内壁に、浅い角度で当てる	効く	壁に垂直な速さの成分が小さくなり、しぶきが減る
座る	最も効く	落差が $0.2\unit{m}$ 程度になり、着水の速さも分裂も両方抑えられる

内壁に $30^\circ$ の浅い角度で当てると、壁に垂直な速さの成分は $v \sin 30^\circ = v/2$ になり、 しぶきを作るのに使える運動エネルギー（垂直成分の2乗に比例）は $1/4$ に減ります。

座ったときの効果は、章末問題3で確かめます。

章末問題

問 1基本落下後の速さ

水流が $1.5\unit{m/s}$ で出て、$0.50\unit{m}$ 落下して水面に届く。 空気抵抗を無視して、着水の速さを有効数字2桁で求めよ。$g = 9.8\unit{m/s^2}$ とする。

解答を見る

$$v^{2} = v_0^{2} + 2gh = (1.5)^{2} + 2 \times 9.8 \times 0.50 = 2.25 + 9.8 = 12.05$$$$v = \sqrt{12.05} \approx 3.47\unit{m/s}$$

暗算で確かめるなら、$3.5^{2} = 12.25$ なので $\sqrt{12.05}$ は $3.5$ より少し小さい、と分かります。

答: 約 $3.5\unit{m/s}$

問 2標準流量と太さ

流量 $20\unit{mL/s}$、直径 $5.0\unit{mm}$ の水流がある。

(1) 水流の出る速さを求めよ。 (2) 落下して $3.5\unit{m/s}$ になったとき、水流の直径はいくらになるか。

解答を見る

(1) 半径は $2.5 \times 10^{-3}\unit{m}$。

$$A = 3.14 \times (2.5 \times 10^{-3})^{2} \approx 1.96 \times 10^{-5}\unit{m^2}$$$$v_0 = \frac{2.0 \times 10^{-5}}{1.96 \times 10^{-5}} \approx 1.0\unit{m/s}$$

答: 約 $1.0\unit{m/s}$

(2) 流量 $Q = Av$ は途中で変わらないので、断面積は速さに反比例します。 直径は断面積の平方根に比例するので、速さの平方根に反比例します。

$$D = 5.0\unit{mm} \times \sqrt{\frac{1.0}{3.5}} \approx 5.0 \times 0.53 \approx 2.7\unit{mm}$$

答: 約 $2.7\unit{mm}$

太さが半分近くになります。細くなった水流は、分裂までの時間 $\tau \propto r^{3/2}$ も短くなります。

問 3発展座るとどう変わるか

座った姿勢では、落差が $0.20\unit{m}$ になり、水流は $1.6\unit{m/s}$ で真下に向けて出るとする。

(1) 着水の速さを求めよ。 (2) 立った姿勢（落差 $0.60\unit{m}$、着水の速さ $3.8\unit{m/s}$）と比べて、水の単位体積あたりの運動エネルギーは何分の1になるか。 (3) 着水までの時間を求め、本文の分裂までの時間 $0.15$ 〜 $0.3\unit{s}$ と比べよ。

解答を見る

(1)

$$v^{2} = (1.6)^{2} + 2 \times 9.8 \times 0.20 = 2.56 + 3.92 = 6.48, \qquad v \approx 2.5\unit{m/s}$$

答: 約 $2.5\unit{m/s}$

(2) 単位体積あたりの運動エネルギーは $\frac{1}{2}\rho v^{2}$ で、$v^{2}$ に比例します。

$$\frac{6.48}{14.3} \approx 0.45$$

答: 約半分（0.45倍）

(3) 下向きに $v_0 = 1.6\unit{m/s}$ で出るので、落下距離は $h = v_0 t + \frac{1}{2}gt^{2}$。

$$0.20 = 1.6t + 4.9t^{2}$$

2次方程式の解の公式で、正の解は

$$t = \frac{-1.6 + \sqrt{1.6^{2} + 4 \times 4.9 \times 0.20}}{2 \times 4.9} = \frac{-1.6 + \sqrt{6.48}}{9.8} \approx \frac{-1.6 + 2.55}{9.8} \approx 0.097\unit{s}$$

答: 約 $0.1\unit{s}$

分裂までの時間 $0.15$ 〜 $0.3\unit{s}$ より短いので、水流はつながったまま水面に入ります。 座ると、(2) の「ぶつかる勢い」が半分になるだけでなく、「粒になる前に着水する」という別の理由でも飛び散りが減ります。 2つの効果が同じ向きに働くので、座るのが最も効く対策になります。