単位と次元・有効数字

物理の式には必ず単位がついています。単位は「答えに添える飾り」ではなく、 式が正しいかどうかを判定する道具です。

この章で扱う次元解析は、物理を学ぶうえで最も費用対効果の高い技法です。 計算を終える前に誤りを見つけられるので、以降のすべての章で使えます。

SI基本単位と組立単位

国際単位系（SI）では、7つの基本単位から他のすべてを組み立てます。 物理でよく使うのは次の5つです。

量	単位	記号
長さ	メートル	$\mathrm{m}$
質量	キログラム	$\mathrm{kg}$
時間	秒	$\mathrm{s}$
電流	アンペア	$\mathrm{A}$
熱力学温度	ケルビン	$\mathrm{K}$

他の単位は、定義式から機械的に組み立てられます。覚える必要はありません。

• 速度 $v = x/t$ なので $\unit{m/s}$
• 加速度 $a = v/t$ なので $\unit{m/s^2}$
• 力 $F = ma$ なので $\mathrm{kg\cdot m/s^2}$。これを $1\unit{N}$ と呼ぶ
• 仕事 $W = Fx$ なので $\mathrm{N\cdot m} = \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}$。これが $1\unit{J}$
• 仕事率 $P = W/t$ なので $\unit{J/s}$。これが $1\unit{W}$
• 圧力 $p = F/S$ なので $\mathrm{N/m^2}$。これが $1\unit{Pa}$

接頭語

接頭語	記号	倍率
ギガ	$\mathrm{G}$	$10^{9}$
メガ	$\mathrm{M}$	$10^{6}$
キロ	$\mathrm{k}$	$10^{3}$
センチ	$\mathrm{c}$	$10^{-2}$
ミリ	$\mathrm{m}$	$10^{-3}$
マイクロ	$\mathrm{\mu}$	$10^{-6}$
ナノ	$\mathrm{n}$	$10^{-9}$

次元

単位の種類だけを抜き出したものを次元と呼び、角括弧で書きます。 力学では質量 $\mathsf{M}$、長さ $\mathsf{L}$、時間 $\mathsf{T}$ の3つで足ります。

量	次元
長さ	$\mathsf{L}$
速度	$\mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}$
加速度	$\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}$
力	$\mathsf{M}\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}$
エネルギー	$\mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-2}$
仕事率	$\mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-3}$

角度・比・屈折率などは単位を持たず、無次元と言います。

規則

規則2が検算に使えます。

検算の例

等加速度運動の式 $v = v_0 + at$ を調べます。

$$[v] = \mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}, \qquad [v_0] = \mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}, \qquad [at] = (\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2})(\mathsf{T}) = \mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}$$

3つとも一致しているので、少なくとも次元的には正しいです。

では $x = v_0 t + \frac{1}{2}at$ はどうでしょうか。

$$[v_0 t] = \mathsf{L}, \qquad [at] = \mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}$$

一致しません。 第2項は $\frac{1}{2}at^2$ でなければならない、と 計算する前に分かります。

次元解析で式の形を推定する

次元解析は検算だけの道具ではありません。式の形そのものを推定できます。

例として、長さ $l$ の糸におもりをつけた単振り子の周期 $T$ を考えます。 $T$ が関係しそうな量は、糸の長さ $l$、おもりの質量 $m$、重力加速度 $g$ です。

$$T = C\, l^{\alpha} m^{\beta} g^{\gamma}$$

と仮定します（$C$ は無次元の定数）。両辺の次元を書くと

$$\mathsf{T} = \mathsf{L}^{\alpha}\,\mathsf{M}^{\beta}\,(\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2})^{\gamma} = \mathsf{M}^{\beta}\,\mathsf{L}^{\alpha+\gamma}\,\mathsf{T}^{-2\gamma}$$

左辺には $\mathsf{M}$ も $\mathsf{L}$ も現れないので、指数を比べて

$$\beta = 0, \qquad \alpha + \gamma = 0, \qquad -2\gamma = 1$$

これを解くと $\gamma = -\tfrac{1}{2}$、$\alpha = \tfrac{1}{2}$、$\beta = 0$。したがって

$$T = C\sqrt{\frac{l}{g}}$$

有効数字

測定値には必ず精度の限界があります。 $2.50\unit{m}$ と書けば「$2.495$ から $2.505$ の間」を意味し、有効数字は3桁です。 末尾の $0$ は「そこまで測れた」ことを示すので、省いてはいけません。

掛け算・割り算

足し算・引き算

章末問題

問 1基本組立単位と次元

次の問いに答えよ。

(1) 万有引力定数 $G$ は $F = G\dfrac{m_1m_2}{r^2}$ で定義される。$G$ の SI 単位を求めよ。 (2) $G$ の次元を $\mathsf{M},\mathsf{L},\mathsf{T}$ で表せ。

解答を見る

(1) 定義式を $G$ について解きます。

$$G = \frac{Fr^2}{m_1m_2}$$

単位を代入して

$$[G] = \frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{kg}^2} = \mathrm{N\cdot m^2/kg^2}$$

基本単位に直すと $\mathrm{N} = \mathrm{kg\cdot m/s^2}$ なので

$$\frac{(\mathrm{kg\cdot m/s^2})\cdot\mathrm{m^2}}{\mathrm{kg^2}} = \mathrm{m^3/(kg\cdot s^2)}$$

答: $\mathrm{N\cdot m^2/kg^2} = \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$。

(2) 同じ操作を次元で行います。

$$[G] = \frac{(\mathsf{M}\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2})\,\mathsf{L}^2}{\mathsf{M}^2} = \mathsf{M}^{-1}\mathsf{L}^{3}\mathsf{T}^{-2}$$

問 2標準次元による検算

ある学生が、質量 $m$ のおもりがばね定数 $k$ のばねで振動する周期を 次のように書いた。どれが次元的に誤りか、理由とともに答えよ。

$$\text{(ア)}\;\; T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \qquad \text{(イ)}\;\; T = 2\pi\sqrt{\frac{k}{m}} \qquad \text{(ウ)}\;\; T = 2\pi\frac{m}{k}$$

解答を見る

まず $k$ の次元を求めます。ばねの力は $F = kx$ なので $k = F/x$、

$$[k] = \frac{\mathsf{M}\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}}{\mathsf{L}} = \mathsf{M}\mathsf{T}^{-2}$$

(ア)

$$\left[\sqrt{\frac{m}{k}}\right] = \left(\frac{\mathsf{M}}{\mathsf{M}\mathsf{T}^{-2}}\right)^{1/2} = (\mathsf{T}^{2})^{1/2} = \mathsf{T}$$

周期の次元 $\mathsf{T}$ と一致。正しい。

(イ) (ア) の逆数の平方根なので $\mathsf{T}^{-1}$。 これは周期ではなく振動数の次元です。誤り。

(ウ)

$$\left[\frac{m}{k}\right] = \frac{\mathsf{M}}{\mathsf{M}\mathsf{T}^{-2}} = \mathsf{T}^2$$

$\mathsf{T}^2$ であって $\mathsf{T}$ ではない。誤り（平方根を忘れている）。

答: (イ) と (ウ) が誤り。

(イ) のように逆数になっている誤りは、値を計算しただけでは気づきにくいものです。 次元を見れば即座に分かります。

問 3発展次元解析による推定

密度 $\rho$、表面張力 $\sigma$ の液体でできた、半径 $R$ の球状の液滴が振動する。 その振動の周期 $T$ を次元解析で推定せよ。

なお表面張力 $\sigma$ は「単位長さあたりの力」であり、$[\sigma] = \mathsf{M}\mathsf{T}^{-2}$ である。

解答を見る

$T = C\,\rho^{\alpha}\sigma^{\beta}R^{\gamma}$ と仮定します。 密度の次元は $[\rho] = \mathsf{M}\mathsf{L}^{-3}$ です。

$$\mathsf{T} = (\mathsf{M}\mathsf{L}^{-3})^{\alpha}(\mathsf{M}\mathsf{T}^{-2})^{\beta}\,\mathsf{L}^{\gamma} = \mathsf{M}^{\alpha+\beta}\;\mathsf{L}^{-3\alpha+\gamma}\;\mathsf{T}^{-2\beta}$$

各次元の指数を比べます。

$$\mathsf{M}:\; \alpha + \beta = 0, \qquad \mathsf{L}:\; -3\alpha + \gamma = 0, \qquad \mathsf{T}:\; -2\beta = 1$$

第3式より $\beta = -\tfrac{1}{2}$。第1式より $\alpha = \tfrac{1}{2}$。 第2式より $\gamma = 3\alpha = \tfrac{3}{2}$。したがって

$$T = C\sqrt{\frac{\rho R^3}{\sigma}}$$

答: $T \propto \sqrt{\rho R^3/\sigma}$。

読み取れることを確認しておきます。

• 周期は $R^{3/2}$ に比例する。 液滴が2倍の大きさになると周期は $2^{3/2}\approx 2.8$ 倍
• 表面張力が強いほど速く振動する（$\sigma$ が分母）
• 重いほどゆっくり振動する（$\rho$ が分子）

運動方程式を立てず、流体力学を何も使わずにここまで分かります。 実際の解析でも $C$ は $1$ 前後の値になります。